[论文解读] Modular forms applied to the computational inverse Galois problem

Johan Bosman|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 29被引用 4

一句话总结

本文首次明确给出了ℚ上的多项式，其伽罗瓦群为PSL₂(𝔽₂₅)、PSL₂(𝔽₃₂)、PSL₂(𝔽₄₉)、PGL₂(𝔽₂₅)和PGL₂(𝔽₂₇)，这些多项式通过尖点形式的模伽罗瓦表示构造而成。利用模形式的计算与塞尔猜想，验证了这些表示确实产生所需的射影伽罗瓦群，从而在ℚ上显式实现了这些群作为伽罗瓦群。

ABSTRACT

For each of the groups PSL2(F25), PSL2(F32), PSL2(F49), PGL2(F25), and PGL2(F27), we display the first explicitly known polynomials over Q having that group as Galois group. Each polynomial is related to a Galois representation associated to a modular form. We indicate how computations with modular Galois representations were used to obtain these polynomials. For each polynomial, we also indicate how to use Serre's conjectures to determine the modular form giving rise to the related Galois representation.

研究动机与目标

• 解决特定有限群（形式为PSL₂(𝔽q)与PGL₂(𝔽q)，其中q为素数幂）的计算逆伽罗瓦问题。
• 构造ℚ[x]中显式的多项式，其伽罗瓦群同构于这些群。
• 展示如何利用模形式及其关联的伽罗瓦表示来计算此类多项式。
• 通过计算技术与塞尔猜想等理论工具，验证所构造多项式的伽罗瓦群。
• 提供一种系统性方法，将模形式与射影线性群作为ℚ上伽罗瓦群的实现相联系。

提出的方法

• 利用新形式f ∈ S₂(Γ₁(N))及其字形特征字符εf，构造2维模ℓ伽罗瓦表示ρf,λ: Gℚ → GL₂(𝔽λ)。
• 将模ℓ表示与投影GL₂(𝔽λ) → PGL₂(𝔽λ)复合，得到射影表示ρ̃f,λ，其像同构于有限域上的射影线性群。
• 应用迪克森分类法，并利用迹平方与行列式之比函数θ: PGL₂(𝔽q) → 𝔽q，检验射影表示的像是否等于PSL₂(𝔽q)。
• 利用条件θ(G) = 𝔽q当且仅当G = PSL₂(𝔽q)，验证像为全群。
• 借助塞尔猜想，通过匹配水平N、权k及系数域（由a₂(f)的最小多项式确定），识别与每个伽罗瓦表示对应的特定模形式f。
• 构造多项式Pf,λ ∈ ℚ[x]的分裂域，其次数为#𝔽λ + 1，从而在ℚ上实现ρ̃f,λ的像作为伽罗瓦群。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用模形式显式构造ℚ上具有指定伽罗瓦群（形式为PSL₂(𝔽q)与PGL₂(𝔽q)，其中q为合数）的多项式？
• RQ2 如何计算验证所构造多项式的伽罗瓦群恰好为PSL₂(𝔽q)或PGL₂(𝔽q)，而非其真子群？
• RQ3 塞尔猜想在识别与多项式所生成伽罗瓦表示相关的模形式中起什么作用？
• RQ4 迹平方与行列式之比函数θ在多大程度上可作为确认射影伽罗瓦表示像为全群的判别准则？
• RQ5 如何确保由模形式f构造的多项式Pf,λ确实实现其射影像作为ℚ上的伽罗瓦群？

主要发现

• 本文首次给出ℚ上伽罗瓦群为PSL₂(𝔽₂₅)的显式多项式，其判别式为5²⁸·29²⁰，5处的分歧类型为1¹1⁵1²⁰，29处为1¹1⁵2⁵2⁵。
• 对于PSL₂(𝔽₃₂)，构造出一个判别式为2⁶²·157¹⁶的多项式，其在2和157处分歧，分解类型分别为1¹1³²与1¹(2²)⁸。
• PSL₂(𝔽₄₉)的多项式判别式为7⁵⁶·23⁴²，7处的分歧为1¹1⁴⁹，23处为1¹1⁷3⁷3⁷，系数域由x² + x - 1的根生成。
• 对于PGL₂(𝔽₂₅)，构造出一个26次多项式，判别式为5³⁰·17²¹，其在5和17处分歧，分解类型分别为1¹1²⁵与1¹1¹3⁸。
• 对于PGL₂(𝔽₂₇)，给出三个多项式，判别式分别为3³⁹·41¹⁸、3³⁹·47¹⁸与3³⁹·53¹⁸，均在3及其对应素数处分歧，分解类型为1¹1²⁷与1¹1³(2³)⁴。
• 在所有情况下，关联的模形式f均由其水平N、权k=2及Hecke特征值a₂(f)的最小多项式唯一确定，通过塞尔猜想确认了其与伽罗瓦表示的联系。