[论文解读] Modular forms in the spectral action of Bianchi IX gravitational instantons

Wentao Fan, Farzad Fathizadeh+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 31被引用 6

一句话总结

本文证明了 $SU(2)$-不变的Bianchi IX引力瞬子的谱作用展现出深刻的算术结构，其中每个Seeley-de Witt系数 $\tilde{a}_{2n}$ 均为权为2的向量值或普通模形式。通过利用特征theta函数对瞬子进行参数化，并利用狄拉克算子的同谱性，作者表明对有理参数轨道的求和产生位于权14的模形式空间（乘以尖点形式 $\Delta$）或权18的模形式空间（乘以 $G_4^4$）中的项，从而将谱几何与经典模形式联系起来。

ABSTRACT

Following our result on rationality of the spectral action for Bianchi type-IX cosmological models, which suggests the existence of a rich arithmetic structure in the action, we study the arithmetic and modular properties of the action for an especially interesting family of metrics, namely $SU(2)$-invariant Bianchi IX gravitational instantons. A variant of the previous rationality result is first presented for a time-dependent conformal perturbation of the triaxial Bianchi IX metric which serves as a general form of Bianchi IX gravitational instantons. By exploiting a parametrization of the gravitational instantons in terms of theta functions with characteristics, we show that each Seeley-de Witt coefficient $ ilde a_{2n}$ appearing in the expansion of their spectral action gives rise to vector-valued and ordinary modular functions of weight 2. We investigate the modular properties of the first three terms $ ilde a_0$, $ ilde a_2$ and $ ilde a_4$ by preforming direct calculations. This guides us to provide spectral arguments for general terms $ ilde a_{2n}$, which are based on isospectrality of the involved Dirac operators. Special attention is paid to the relation of the new modular functions with well-known modular forms by studying explicitly two different cases of metrics with pairs of rational parameters that belong to two different general families. In the first case, it is shown that by running a summation over a finite orbit of the rational parameters, up to multiplication by the cusp form $Δ$ of weight 12, each term $ ilde a_{2n}$ lands in the 1-dimensional linear space of modular forms of weight 14. In the second case, it is proved that, after a summation over a finite orbit of the parameters and multiplication by $G_4^4$, where $G_4$ is the Eisenstein series of weight 4, each $ ilde a_{2n}$ lands in the 1-dimensional linear space of cusp forms of weight 18.

研究动机与目标

• 研究 $SU(2)$-不变的Bianchi IX引力瞬子谱作用中的算术与模结构。
• 确定谱作用展开中Seeley-de Witt系数 $\tilde{a}_{2n}$ 是否为模形式或向量值模形式。
• 通过有理参数有限轨道的求和，建立谱系数与经典模形式（如 $\Delta$ 和 $G_4^4$）之间的显式联系。
• 通过利用特征theta函数的参数化，将谱作用的有理性扩展至更丰富的模框架。

提出的方法

• 利用源自Painlevé VI方程和Halphen系统的解，通过特征theta函数对 $SU(2)$-不变的Bianchi IX引力瞬子进行参数化。
• 通过三轴Bianchi IX度量的时间依赖共形微扰构造满足Weyl张量自对偶性的爱因斯坦度量，从而定义引力瞬子。
• 通过在这些瞬子度量上对狄拉克算子应用非交换迹与伪微分演算，计算Seeley-de Witt系数 $\tilde{a}_{2n}$。
• 建立 $\tilde{D}^2[q_0]$ 与 $-q_0^{-2}\tilde{D}^2[1/q_0]$ 之间，以及 $\tilde{D}^2[q_0]$ 与 $\tilde{D}^2[q_0 - i]$ 之间的同谱性，推导出系数的模变换性质。
• 通过直接计算 $\tilde{a}_0$、$\tilde{a}_2$ 和 $\tilde{a}_4$ 识别模变换模式，并利用谱恒等式将结果推广至 $\tilde{a}_{2n}$。
• 对有理参数 $p,q$ 的有限轨道进行求和，表明 $\tilde{a}_{2n}$ 在乘以 $\Delta$（权12）后位于权14的模形式1维空间中，而在乘以 $G_4^4$ 后位于权18的尖点形式1维空间中。

实验结果

研究问题

• RQ1 Bianchi IX引力瞬子谱作用中Seeley-de Witt系数 $\tilde{a}_{2n}$ 是否表现出模不变性？
• RQ2 谱系数能否表示为向量值或普通模形式，其权为何？
• RQ3 谱系数与经典模形式（如 $\Delta$ 和 $G_4^4$）之间存在何种显式联系？
• RQ4 对有理参数 $p,q$ 的有限轨道求和如何使谱系数进入已知的模形式空间？
• RQ5 狄拉克算子的同谱性与theta函数参数化在建立模结构中起到何种作用？

主要发现

• 通过直接计算，前三个Seeley-de Witt系数 $\tilde{a}_0$、$\tilde{a}_2$ 和 $\tilde{a}_4$ 被证明为权2的向量值与普通模形式。
• 对于非零宇宙学常数的双参数度量族，对有理参数有限轨道的求和表明，$\tilde{a}_{2n}$ 在乘以权12的尖点形式 $\Delta$ 后，位于权14的模形式1维空间中。
• 对于宇宙学常数为零的一参数度量族，对有理参数有限轨道的求和表明，$\tilde{a}_{2n}$ 在乘以 $G_4^4$ 后，位于权18的尖点形式1维空间中，其中 $G_4$ 为权4的Eisenstein级数。
• 谱作用系数 $\tilde{a}_{2n}$ 被证明为模形式的有理组合，确认了谱展开中的算术结构。
• $\tilde{D}^2[q_0]$ 与 $-q_0^{-2}\tilde{D}^2[1/q_0]$ 之间的同谱性为系数的模变换性质提供了谱学依据。
• 通过特征theta函数对引力瞬子的参数化，使得谱作用中模形式的显式实现成为可能，从而将数论与量子引力联系起来。