[论文解读] Modular forms of orthogonal type and Jacobi theta-series

Fabien Cléry, Valery Gritsenko|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文为任意正定格上的半整数指标雅可比形式建立了理论，推广了经典雅可比形式。引入了一类雅可比提升构造，使得可通过θ-积和限制法显式构造奇异权与临界权的反射模形式，包括具有平凡与非平凡特征的模形式新例子。

ABSTRACT

In this paper we consider Jacobi forms of half-integral index for any positive definite lattice L (classical Jacobi forms from the book of Eichler and Zagier correspond to the lattice A_1=<2>). We give a lot of examples of Jacobi forms of singular and critical weights for root systems using Jacobi theta-series. We describe the Jacobi lifting for Jacobi forms of half-integral indices. In some case it gives additive lifting construction of new reflective modular forms.

研究动机与目标

• 将经典雅可比形式（对应 $A_1 = \langle 2 \rangle$）推广至任意正定格上的半整数指标雅可比形式。
• 为具有可能特征的半整数指标形式发展雅可比提升映射，以构造新的反射模形式。
• 通过θ-积与限制法，显式构造奇异权与临界权雅可比形式的例子。
• 将博赫纳茨-恩里奎斯形式 $\Phi_4$ 以八组经典θ-级数的提升形式重新构造。
• 通过高阶雅可比形式在奇异权下的限制，解释θ-夸克与全纯θ-块。

提出的方法

• 为任意正定格 $L$ 定义半整数指标雅可比形式，推广埃赫勒-扎吉埃框架。
• 利用根格对应的雅可比θ-级数，构造奇异权与临界权雅可比形式的例子。
• 引入一个提升映射 $\mathrm{Lift}$，将半整数指标雅可比形式构造为正交模形式。
• 分析雅可比形式在余秩2子格上的限制，以生成临界权的新尖点形式。
• 应用θ-积及其限制，构造具有平凡或非平凡特征的雅可比尖点形式。
• 利用韦伊表示与 $\eta$-函数和 $\vartheta$-函数的模性质，控制变换行为与特征结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地构造任意正定格上的半整数指标雅可比形式？
• RQ2 半整数指标形式的雅可比提升映射的结构是什么？它保持何种模群？
• RQ3 哪些格存在非零临界权 $\frac{n+1}{2}$ 的雅可比形式（具有平凡或非平凡特征）？
• RQ4 博赫纳茨-恩里奎斯形式 $\Phi_4$ 是否可作为经典θ-级数乘积的提升被重构？
• RQ5 θ-积与限制在生成如θ-夸克等全 holomorphic θ-块中起什么作用？

主要发现

• 半整数指标形式的雅可比提升可直接构造正交群（签名 $(2,n)$）上的反射模形式。
• 在 $D_3$ 上奇异权为1的形式 $\sigma_{A_2}$，经限制后生成临界权为1的尖点形式，从而得到具有特征 $v_{\eta}^8$ 的θ-夸克 $\theta_{a,b}$。
• 当 $n \geq 7$ 为奇数，或 $n \geq 8$ 为偶数且满足 $d \equiv n+1 \pmod{2}$ 时，存在秩为 $n$ 的格 $L$，其上存在非零临界权 $\frac{n+1}{2}$ 的雅可比尖点形式，特征为 $v_{\eta}^d$。
• 形如 $\eta(\tau)\vartheta_{3/2}(\tau,2z)$ 与 $\eta(\tau)\vartheta(\tau,2z)$ 的θ-积，分别给出奇异权1的雅可比形式，其特征分别为 $v_{\eta}^2$ 与 $v_{\eta}^4$。
• 沿 $u = 2(b, -a, 0)$ 限制 $\sigma_{A_2}$，可得权重为1、指标为 $a^2 + ab + b^2$ 的θ-夸克 $\theta_{a,b} = \frac{\vartheta(\tau,az)\vartheta(\tau,bz)\vartheta(\tau,(a+b)z)}{\eta(\tau)}$。
• 所有奇数秩 $\geq 5$ 的雅可比尖点形式，其临界权下具有平凡特征，可通过 $\vartheta_{A_m(3)}$ 限制高阶奇异权形式构造。