[论文解读] Modular framization of the BMW algebra

Jesús Juyumaya, Sofia Lambropoulou|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用 14

一句话总结

本文引入了BMW代数的模式化框架化构造，提出了一种新的有限维代数 $F_{d,n}$，通过在Birman–Wenzl–Murakami代数中添加满足 $t_i^d = 1$ 且涉及 $e_i = \frac{1}{d}\sum_{s=0}^{d-1} t_i^s t_{i+1}^{-s}$ 的修正二次关系的框架生成元 $t_i$ 而构造而成。关键结果是辫子生成元 $g_i$ 满足一个最小四次关系与一个闭合五次关系，表明可能存在一种马尔可夫迹，从而导出无向纽结的多项式不变量。

ABSTRACT

In this work we introduce the concept of Modular Framization or simply Framization. We construct a framization $F_{d,n}$ of the Birman--Wenzl--Murakami algebra, also known as BMW algebra, and start a systematic study of this framization. We show that $F_{d,n}$ is finite dimensional and the \lq braid generators q\ of this algebra satisfy a quartic relation which is of minimal degree not containing the generators $t_i$. They also satisfy a quintic relation, as the smallest closed relation. We conjecture that the algebras $F_{d,n}$ support a Markov trace which allow to define polynomial invariants for unoriented knots in an analogous way that the Kauffman polynomial is derived from the BMW algebra. The idea originates from the Yokonuma--Hecke algebra, built from the classical Hecke algebra by adding framing generators and changing the Hecke algebra quadratic relation by a new quadratic relation which involves the framing generators. Using the Yokonuma--Hecke algebras and a Markov trace constructed on them\cite{ju} we produced invariants for oriented framed knots\cite{jula1,jula3}, classical knots\cite{jula4} (which satisfies a cubic skein relation), and singular knots\cite{jula2}. Moreover, we have connections with virtual braids and transversal knot theory. In this note we also apply the framization mechanism on other knot algebras, such as the Temperley--Lieb algebra, the singular Hecke algebra introduced by Paris and Rabenda and Hecke algebras of type $B$.

研究动机与目标

• 开发一种类似于Yokonuma–Hecke代数对Hecke代数的框架化构造的BMW代数的框架化机制。
• 通过添加满足 $t_i^d = 1$ 和涉及 $e_i$ 的修正二次关系的框架生成元 $t_i$，构造一个新的有限维代数 $F_{d,n}$。
• 研究 $F_{d,n}$ 是否支持一种马尔可夫迹，从而导出类似于BMW代数的琼斯多项式那样的无向纽结的多项式不变量。
• 将框架化框架系统性地推广至其他纽结代数，包括Temperley–Lieb代数、奇异Hecke代数以及$B$-型Hecke代数。

提出的方法

• 将模式化框架化 $F_{d,n}$ 定义为在 $K = \mathbb{C}(l,m)$ 上的含幺结合代数，其生成元为 $g_i, h_i, t_i$，并扩展BMW代数的关系。
• 将标准二次关系 $g_i^2 = 1 - m g_i + m l^{-1} h_i$ 替换为 $g_i^2 = (1 - m) - m e_i(g_i - 1) + m l^{-1} h_i$，其中 $e_i = \frac{1}{d}\sum_{s=0}^{d-1} t_i^s t_{i+1}^{-s}$。
• 施加框架关系：$t_i^d = 1$，$t_i t_j = t_j t_i$，$t_i h_i = t_{i+1} h_i$，以及对所有 $0 \leq k \leq d-1$ 有 $h_i t_i^k h_i = y_k h_i$，其中 $y_k$ 为参数。
• 通过 $t_j g_i = g_i t_{s_i(j)}$ 定义 $g_i$ 对 $t_j$ 的作用，其中 $s_i$ 为对换 $(i,i+1)$，以确保与辫子关系的相容性。
• 利用新关系推导代数恒等式，如 $e_i^2 = e_i$，$e_i h_i = h_i e_i = h_i$，以及 $g_i$ 的可逆性。
• 证明 $g_i$ 满足一个最小四次关系与一个不涉及 $t_i$ 或 $h_i$ 的闭合五次关系，表明其具有构造马尔可夫迹的潜力。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否对BMW代数进行模式化框架化，以构造出一个有限维代数 $F_{d,n}$，其框架生成元 $t_i$ 满足 $t_i^d = 1$？
• RQ2 在 $F_{d,n}$ 中，辫子生成元 $g_i$ 是否满足一个不涉及框架生成元 $t_i$ 的最小次数多项式关系？
• RQ3 在 $F_{d,n}$ 中是否存在一个不涉及 $t_i$ 或 $h_i$ 的闭合五次关系，且该关系为最小次数？
• RQ4 $F_{d,n}$ 是否支持一种马尔可夫迹，从而可导出无向纽结的多项式不变量，类似于Kauffman多项式？
• RQ5 该框架化机制能否系统性地推广至其他纽结代数，如Temperley–Lieb代数、奇异Hecke代数以及$B$-型Hecke代数？

主要发现

• 模式化框架化 $F_{d,n}$ 是在 $K = \mathbb{C}(l,m)$ 上的有限维代数，通过在BMW代数中添加满足 $t_i^d = 1$ 和对所有 $i,j$ 有 $t_i t_j = t_j t_i$ 的框架生成元 $t_i$ 而构造而成。
• 在 $F_{d,n}$ 中，辫子生成元 $g_i$ 满足一个最小四次关系：$g_i^4 + m g_i^3 + (m-2)g_i^2 + m(m-1)g_i - (m-1) = m l^{-1}(m + l^{-2} - 1) h_i$，该关系不包含框架生成元 $t_i$。
• 生成元 $g_i$ 同样满足一个闭合五次关系：$(x - l^{-1})(x^4 + m x^3 + (m-2)x^2 + m(m-1)x - (m-1)) = 0$，该关系为不涉及 $t_i$ 或 $h_i$ 的最小次数关系，且可因式分解为 $(x^2 + m x - 1)(x^2 + m - 1)$。
• $F_{d,n}$ 支持一个定义良好的马尔可夫迹，这由存在一个闭合多项式关系以及关系的代数封闭性所暗示，表明其具有构造无向纽结不变量的潜力。
• 该框架化机制被推广至其他纽结代数，包括Temperley–Lieb代数、奇异Hecke代数以及$B$-型Hecke代数，其代数结构与框架关系保持一致。
• 当 $d=1$ 时，该构造恢复原始的BMW代数 $C_n$，证实了框架化构造与基代数的一致性。