[论文解读] Modular functor and representation theory of \hat{sl}_{2} at a rational level

B. Feigin. F. Malikov|ArXiv.org|Nov 18, 1995

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 3被引用 14

一句话总结

本文通过使用 Kac-Wakimoto 的可及表示与广义 Weyl 模，为 $\hat{\frak{sl}}_2$ 在有理数水平下引入了一种新的模函子，在秩 2 的抛物丛模空间上构造了一个奇异 ${\cal D}$-模。关键结果是一个类似于 Verlinde 公式的融合规则公式，该公式将 Verlinde 代数实现为 $\frak{osp}(1|2)$ 与 $\frak{sl}_2$ 的有限维表示的 Grothendieck 环的乘积，从而将标准的 WZW 融合推广到了可及情形。

ABSTRACT

We define a new modular functor based on Kac-Wakimoto admissible representations and the corresponding D-module on the moduli space of rank 2 vector bundles with parabolic structure. A new fusion functor arises which is related to representation theory of the pair "osp(1|2),sl(2)" in the same way as the fusion functor for the Virasoro algebra is related to representation theory of the pair "sl(2),sl(2)"

研究动机与目标

• 基于 $\widehat{\frak{sl}}_2$ 在有理数水平下的 Kac-Wakimoto 可及表示，定义一种新的模函子。
• 在具有抛物结构的秩 2 向量丛模空间上构造一个奇异 ${\cal D}$-模，将 Segal 的模函子扩展到可及最高权情形。
• 定义一个与对 $(\frak{osp}(1|2), \frak{sl}_2)$ 相关的新融合函子，类似于 Virasoro 融合函子与 $(\frak{sl}_2, \frak{sl}_2)$ 的关系。
• 通过识别正确的张量范畴，解决可及表示中 Verlinde 代数的负结构常数之谜。
• 提供一种组合算法，通过约化到三个点的球面，计算余不变子空间维数。

提出的方法

• 将广义 Weyl 模定义为 Verma 模对奇异向量的商，参数化为 $(V_r^\epsilon, V_s)$，其中 $r,s \geq 0$，$\epsilon \in \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。
• 构造一个模函子，将带有秩 2 向量丛、点和纤维中直线的带点曲面映射到有限维向量空间，使用可及最高权而非可积最高权。
• 在抛物丛的模空间上定义一个新的 ${\cal D}$-模，其在与 Hitchin 的全局幂零锥相关的集合上奇异。
• 证明该 ${\cal D}$-模在无穷远处具有正则奇点，且通过将曲面压紧到三个点的球面，其一般纤维维数可计算。
• 使用筛子算子 $R_0, R_1$ 生成广义 Weyl 模之间的所有顶点算子，并与标准筛子算子 $S$ 结合，生成所有关联函数。
• 通过形如 $\int t^{-\alpha-1} \exp(-Xt) \Psi_{\text{old}} dt$ 的积分算子构造 Knizhnik-Zamolodchikov 型系统解，推广了 Varchenko-Schechtman 关联函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将模函子从 $\widehat{\frak{sl}}_2$ 在有理数水平下的可积表示扩展到可及表示？
• RQ2 可及表示的融合规则结构是什么？它与标准 WZW 模型有何不同？
• RQ3 在抛物丛模空间上的 ${\cal D}$-模行为如何，特别是关于奇点与单值性？
• RQ4 对 $(\frak{osp}(1|2), \frak{sl}_2)$ 在融合规则的表示论解释中起什么作用？
• RQ5 能否通过筛子算子与积分变换系统地生成可及表示的关联函数？

主要发现

• 可及表示的 $\widehat{\frak{sl}}_2$ 的 Verlinde 代数与 $\frak{osp}(1|2)$ 和 $\frak{sl}_2$ 的有限维表示的 Grothendieck 环的乘积同构。
• 广义 Weyl 模的融合规则为 $ (V_{r_1}^\alpha, V_{s_1}) \circ (V_{r_2}^\beta, V_{s_2}) = \sum_{k=|r_1 - r_2|}^{r_1 + r_2} (V_k^{\alpha + \beta}, V_{s_1} \otimes V_{s_2}) $，其中求和带有交错符号。
• 所构造的 ${\cal D}$-模在与 Hitchin 的全局幂零锥相关的集合上奇异，这使其区别于标准构造。
• 在球面上三个模的余不变子空间的维数通过无限维情形下的纯线性代数计算得出。
• 筛子算子 $R_0, R_1$ 生成广义 Weyl 模之间的所有顶点算子，与标准筛子算子 $S$ 结合后，可生成所有关联函数。
• Knizhnik-Zamolodchikov 型系统解由积分算子 $\int t^{-\alpha-1} \exp(-Xt) \Psi_{\text{old}} dt$ 给出，其被证明是理水平情形下丛的水平截面。