[论文解读] Modular perverse sheaves on flag varieties I: tilting and parity sheaves

Pramod N. Achar, Simon Riche|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用 5

一句话总结

该论文在良好特征下建立了仿射李代数G的旗流形上的奇偶层范畴与它的朗兰兹对偶群Ĝ的旗流形上的tilting perverse层范畴之间的分级等价。关键结果是，G的旗流形上的奇偶层在范畴上实现了Ĝ的旗流形上的tilting范畴的分级提升，其应用涵盖分解数、索尔杰尔的模范畴O以及卡兹丹–卢斯蒂格理论。

ABSTRACT

In this paper we prove that the category of parity complexes on the flag variety of a complex connected reductive group is a "graded version" of the category of tilting perverse sheaves on the flag variety of the dual group, for any field of coefficients whose characteristic is good. We derive some consequences on Soergel's modular category O, and on multiplicities and decomposition numbers in the category of perverse sheaves.

研究动机与目标

• 建立仿射李代数G的旗流形上的奇偶层范畴与它的朗兰兹对偶Ĝ的旗流形上的tilting perverse层范畴之间的范畴精确关系。
• 将特征0中的经典结果（如Koszul对偶性、索尔杰尔理论）推广到正特征情形，适用于模perversely sheaves。
• 为旗流形上perversity sheaf范畴中的分解数与重数提供几何框架。
• 将Koszul对偶范式推广到模情形，表明奇偶层范畴是双侧对偶侧tilting范畴的分级提升。
• 通过G的旗流形上的奇偶层范畴，几何实现索尔杰尔的模范畴O。

提出的方法

• 将Bezrukavnikov–Yun（2010）在特征0下的构造适配到正特征情形，使用奇偶层理论替代混合Hodge结构。
• 利用通过自同构T和满足同态同构条件（1.1）的函子F定义的阿贝尔范畴的“分级版本”，确保分级扩张可恢复未分级情形。
• 应用涉及Verdier对偶函子D_X与Riemann–Hilbert对应关系的对偶形式，关联双侧旗流形上的标准、余标准与tilting对象。
• 使用包含混合导出范畴D^mix的三角范畴图，其中函子R_{X→Y}与R_{X←Y}在双侧旗流形的构造层导出范畴之间诱导出互逆等价。
• 依赖于G/B上B-等变层的导出范畴与Ĝ/̌B上Ĝ/B̌-等变层的导出范畴之间通过一个对偶函子实现的自然同构。
• 利用G/B上奇偶层范畴同构于Koszul环上graded模范畴的事实，推广经典category O的Koszul对偶性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在良好特征下，如何将Ĝ的旗流形上的tilting perverse sheaf范畴作为G的旗流形上奇偶层范畴的分级提升来实现？
• RQ2 在正特征下，G/B上perversity sheaf的分解数与Hecke代数结构之间的精确关系是什么？
• RQ3 索尔杰尔的模范畴O能否通过G的旗流形上的奇偶层范畴实现几何化？
• RQ4 经典Koszul对偶性中标准与余标准层之间的对偶性在模情形下通过奇偶层在多大程度上得以推广？
• RQ5 在正特征下，简单perversity sheaf在标准扩张中的重数与Kazhdan–Lusztig基之间的关系如何？

主要发现

• G/B上奇偶层范畴是Ĝ/̌B上tilting perverse sheaf范畴的分级提升，其中移位自同构[1]扮演了分级移位的角色。
• 函子ν: IC_{(̌B)}(̌B, ℂ) → Proj-O_0(G) 将半单复形范畴实现为范畴O中投射模的分级版本，将索尔杰尔理论扩展到正特征情形。
• G/B上perversity sheaf的分解数由Hecke代数H_W的典范基在q=1处的特化决定，将Kazhdan–Lusztig猜想推广到正特征情形。
• G/B上奇偶层范畴同构于Koszul环上的未分级模范畴，将经典Koszul对偶性结果推广到模情形。
• 在两个对偶旗流形上，tilting与简单perversity sheaf之间的对偶性在等价下被保持，建立了模情形下的Koszul自对偶性版本。
• 通过R_{X→Y}与R_{X←Y}在D^b_{(B)}(G/B, k)与D^b_{(̌B)}(̌G/̌B, k)之间诱导的导出范畴等价，进一步在阿贝尔范畴层面诱导出tilting sheaf与projective sheaf之间的等价，其逆函子互为逆。