[论文解读] Modular transformation and bosonic/fermionic topological orders in Abelian fractional quantum Hall states

Xiao-Gang Wen|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2012

Quantum and electron transport phenomena参考文献 1被引用 10

一句话总结

本文通过阿贝尔分数化量子霍尔态在模变换下的非阿贝尔几何相位，对二维拓扑序进行了完整表征。结果表明，这些相位——特别是模 S 和 T 矩阵——同时编码了任意Anyon统计和手征中央荷 Δc mod 24，提供了一个可物理测量的、完整的拓扑序不变量。

ABSTRACT

The non-Abelian geometric phases of the robust degenerate ground states were proposed as physically measurable defining properties of topological order in 1990. In this paper we discuss in detail such a quantitative characterization of topological order, using generic Abelian fractional quantum Hall states as examples. We find a way to determine even the pure U(1) phase of the non-Abelian geometric phases. We show that the non-Abelian geometric phases not only contain information about the quasi-particle statistics, they also contain information about the chiral central charge Delta c mod 24 of the edge states, as well as the Hall viscosity. Thus, the non-Abelian geometric phases (both the Abelian part and the non-Abelian part) provide a quite complete way to characterize 2D topological order.

研究动机与目标

• 为阿贝尔分数化量子霍尔态中的二维拓扑序提供一个可物理测量的完整表征。
• 确定非阿贝尔几何相位的完整结构，包括阿贝尔U(1)相位和非阿贝尔部分。
• 表明模变换（S 和 T）对基态波函数的变换编码了任意Anyon统计和手征中央荷 Δc mod 24。
• 建立非阿贝尔几何相位构成 SL(2,Z) 的表示，从而提供拓扑序的完整不变量。

提出的方法

• 使用 (K, q, s) 表征法定义阿贝尔FQH态在环面上的一般波函数。
• 通过幺正算符 U(M_S) 和 U(M_T) 对多体波函数应用模变换（S: τ → -1/τ，T: τ → τ+1）。
• 推导平移算符 T1、T2 与模算符 S、T 的变换规则，揭示其代数关系。
• 利用θ函数及其变换性质，计算 S 和 T 对波函数的作用。
• 通过分析模变换和平移操作下的相位因子，识别几何相位中 U(1) 相位分量。
• 证明模 S 和 T 矩阵完全编码了拓扑序，包括手征中央荷 Δc mod 24。

实验结果

研究问题

• RQ1 在模变换下，非阿贝尔几何相位是否能完全表征阿贝尔FQH态中的二维拓扑序？
• RQ2 如何提取并物理解释非阿贝尔几何相位中的纯U(1)相位？
• RQ3 模 S 和 T 矩阵中编码了关于边缘理论（如手征中央荷 Δc mod 24）的哪些信息？
• RQ4 模 S 和 T 变换如何作用于环面上一般阿贝尔FQH态的多体波函数？
• RQ5 由几何相位构成的模表示是否足以区分所有拓扑序？

主要发现

• 非阿贝尔几何相位，包括阿贝尔U(1)相位和非阿贝尔部分，构成由 S 和 T 矩阵生成的 SL(2,Z) 表示。
• 模 S 和 T 矩阵完全编码了FQH态的任意Anyon统计，证实其作为完整拓扑不变量的角色。
• 边缘理论的手征中央荷 Δc mod 24 编码于模 S 和 T 变换中，尤其体现在 S 矩阵的相位因子中。
• 通过显式计算模变换和平移操作下的相位因子，确定了几何相位的U(1)相位。
• 霍尔粘性也编码于非阿贝尔几何相位中，将体拓扑序与输运性质联系起来。
• 模变换代数（S⁴ = (ST)⁶ = 1）在基态流形上实现，证实了波函数的拓扑本质。