[论文解读] Modularity maximisation for graphons

Florian Klimm, Nick S. Jones+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Graph theory and applications参考文献 70被引用 1

一句话总结

本文提出了图翁模块度（graphon-modularity），作为稠密网络极限对象——图翁——的模块度最大化之连续扩展，实现了对无限、连续网络表示的社区检测。通过将模块度最大化重新表述为连续优化问题，作者证明了某些图翁的解析可解性，并表明从网络数据估计图翁可在保持隐私的同时提升社区检测性能，在真实网络中调整互信息（AMI）最高达0.93。

ABSTRACT

Networks are a widely-used tool to investigate the large-scale connectivity structure in complex systems and graphons have been proposed as an infinite size limit of dense networks. The detection of communities or other meso-scale structures is a prominent topic in network science as it allows the identification of functional building blocks in complex systems. When such building blocks may be present in graphons is an open question. In this paper, we define a graphon-modularity and demonstrate that it can be maximised to detect communities in graphons. We then investigate specific synthetic graphons and show that they may show a wide range of different community structures. We also reformulate the graphon-modularity maximisation as a continuous optimisation problem and so prove the optimal community structure or lack thereof for some graphons, something that is usually not possible for networks. Furthermore, we demonstrate that estimating a graphon from network data as an intermediate step can improve the detection of communities, in comparison with exclusively maximising the modularity of the network. While the choice of graphon-estimator may strongly influence the accord between the community structure of a network and its estimated graphon, we find that there is a substantial overlap if an appropriate estimator is used. Our study demonstrates that community detection for graphons is possible and may serve as a privacy-preserving way to cluster network data.

研究动机与目标

• 开发图翁中社区检测的框架，将有限网络的模块度最大化扩展至连续、无限的网络极限。
• 通过识别模块化结构，实现对复杂图翁模型的可解释性总结，类比于有限网络中的社区检测。
• 探究是否可通过图翁估计与后续模块度优化，从经验网络中恢复社区结构，同时保持隐私。
• 评估不同图翁估计方法对检测到的社区结构与原始网络之间保真度的影响。

提出的方法

• 将图翁模块度定义为Newman-Girvan模块度的连续类比，通过在单位平方上对图翁函数进行积分实现。
• 将模块度最大化重新表述为在单位区间可测划分上的连续优化问题，使特定图翁的解析解成为可能。
• 对原始网络应用标准网络社区检测（模块度最大化），并将结果与从网络中估计图翁后获得的结果进行比较。
• 采用三种图翁估计方法：矩阵填充、USVT和排序平滑法，以评估其对社区检测保真度的影响。
• 使用调整互信息（AMI）评估网络与图翁基分区之间的一致性，AMI是聚类比较的标准度量。
• 利用Aldous-Hoover表示法将图翁表达为[0,1]²上的函数，从而可应用连续数学工具进行分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 模块度最大化能否有意义地扩展至图翁，作为稠密网络连续极限的拓展？
• RQ2 在先估计图翁再应用模块度优化的前提下，有限网络中的社区结构能在多大程度上被恢复？
• RQ3 图翁估计方法的选择如何影响结果社区检测的准确性，相较于直接网络分析？
• RQ4 是否存在特定图翁类别的模块度最大化解析解？其何种结构特征使其成为可能？
• RQ5 图翁基社区检测能否作为直接网络分析的隐私保护替代方案？

主要发现

• 图翁模块度可被定义并作为连续优化问题进行最大化，使某些图翁（如块常数或光滑图翁）获得解析解。
• 在美国参议院投票网络中，基于图翁的模块度最大化恢复了与直接网络分析相同的社区结构，AMI达0.9286。
• 在Facebook网络中，基于图翁的聚类恢复了原始网络分区45%的信息（AMI = 0.45），表明保真度较高。
• 在大脑连接网络中，AMI达到0.54，表明尽管存在平滑处理，图翁估计仍保留了有意义的模块化结构。
• 矩阵填充估计器始终产生更高的AMI值（全部>0.4），而USVT或排序平滑法常产生接近零的一致性。
• 排序平滑法在所有数据集中表现均较差，AMI值低于0.17，表明在此情境下对社区检测的实用性有限。