[论文解读] Modularity of Relatively Rational Vertex Algebras and Fusion Rules of Principal Affine W-Algebras

Tomoyuki Arakawa, Jethro van Ekeren|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 31被引用 8

一句话总结

该论文通过相对有理性和余有限性框架，建立了配备一族共形结构的顶点（超）代数的迹函数的模不变性。它利用BRST约化和Verlinde型公式，显式推导出主仿射W代数的模S-矩阵变换和融合规则，将模性推广至非lisse、相对有理的设定。

ABSTRACT

We study modularity of the characters of a vertex (super)algebra equipped with a family of conformal structures. Along the way we introduce the notions of rationality and cofiniteness relative to such a family. We apply the results to determine modular transformations of trace functions on admissible modules over affine Kac-Moody algebras and, via BRST reduction, trace functions on minimal series representations of principal affine W-algebras.

研究动机与目标

• 为具有不同共形结构的顶点代数建立相对有理性和余有限性框架。
• 将Zhu的模性定理推广至非必然C2-余有限但相对于当前h余有限的顶点代数。
• 计算仿射Kac-Moody代数的摄动模上迹函数的模S-矩阵变换。
• 通过BRST约化推导主仿射W代数的极小系列表示的融合规则。
• 利用相对模性框架，将Verlinde公式推广至主摄动水平的W代数。

提出的方法

• 通过分解 V = V⁰ ⊕ V⁺ 及商 R^rel(V) = V / (V⁰_{(-2)}V⁰ + V_{(-1)}V⁺) 引入相对有理性和余有限性条件。
• 定义包含中性模式 L₀(h) = L₀ + z h₀ 及在h-稳定模上的超迹的迹函数 F_M(τ,z|u)。
• 证明 F_M(τ,z|u) 在小的 |z| 和上半平面 τ 上绝对收敛，确保其模性质。
• 应用BRST约化，将仿射Kac-Moody代数上的迹函数与主W代数上的迹函数关联。
• 利用广义Verlinde公式和显式特征标公式推导模S-矩阵变换。
• 利用 I_{p,q} 与W代数的中心特征标之间的双射，将S-矩阵系数表示为Weyl群轨道上的求和及内积形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过当前h，将模性推广至非C2-余有限但具有共形结构族的顶点代数？
• RQ2 在相对设定下，仿射Kac-Moody代数摄动模上迹函数的S-矩阵结构为何？
• RQ3 W代数上迹函数的模变换如何由仿射Kac-Moody模的BRST约化产生？
• RQ4 主仿射W代数极小系列表示的融合规则的显式形式为何？
• RQ5 能否利用相对模性框架，将Verlinde公式推广至主摄动水平的W代数？

主要发现

• 迹函数 F_M(τ,z|u) 在小的 z 下绝对收敛且模不变，确立了相对设定下的模性。
• W代数的S-矩阵显式计算为Weyl群轨道上的求和，包含涉及内积和层次参数的指数因子。
• 不可约W代数模的融合规则由底层仿射李代数的融合规则的乘积给出：N_{(λ,λ'),(μ,μ')}^{(ν,ν')} = N_{λ,μ}^ν N_{λ',μ'}^{ν'}。
• 迹函数 φ_{λ,λ'}(τ|u) 的模S-变换通过推论8.4导出，将先前结果推广至任意 u ∈ V。
• 当 R^rel(V) 为有限维时，相对余有限性条件是模性的充分条件，即使 V 非C2-余有限。
• 该构造提供了一套系统方法，利用Verlinde公式和BRST约化，计算主摄动水平W代数的融合规则。