[论文解读] Modularity of solvable Artin representations of GO(4)-type

Dinakar Ramakrishnan|ArXiv.org|Feb 6, 2001

Advanced Algebra and Geometry参考文献 19被引用 11

一句话总结

本文证明了在数域上，4维可解的GO(4)-型Artin表示的模形式性，确立其L-函数与GL(4)上的同调自守形式的L-函数相匹配。关键结果表明，此类表示是模形式的，且其非退化性等价于不可约性，将Langlands的模形式性猜想扩展至一类新的非单变量、本原的偶数维表示（超出GL(2)的情形）。

ABSTRACT

This is an updated version of ANT-0253. Let F be a number field with absolute Galois group G. We associate, to each continuous, solvable C-representation of G of GO(4)-type, an automorphic form P of GL(4)/F with the same L-function. As a consequence we exhibit an infinite class of primitive, 16-dimensional representations for which the Artin conjecture holds.

研究动机与目标

• 在数域上建立4维可解伽罗瓦表示（GO(4)-型）的模形式性猜想。
• 提供新的不可约、非单变量、本原Artin表示的例子，满足Artin猜想。
• 将强Artin猜想推广至此类表示的张量积。
• 验证某些非正规扩张（次数为3^a）的强Dedekind猜想。
• 探讨在可解GO(4)-型表示背景下，基变更与诱导的自守性。

提出的方法

• 利用GO(4,C)作为GL(2,C) × GL(2,C)对C*的商群结构，分析通过该群的表示。
• 应用Clifford定理并借助可解群结构进行下降，将问题约化为维数≤2的不可约分量。
• 以Langlands-Tunnell定理作为2维可解表示的基础输入。
• 利用自守诱导及Asai提升（As(π)）的构造，从2维表示的张量积构建GL(4)上的自守形式。
• 应用同调自守表示理论与基变更，将模形式性推广至3^a次扩张。
• 依赖Arthur-Clozel的自守诱导理论及可解伽罗瓦群的结构，确保与L-函数的相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否证明4维可解Artin表示（GO(4)-型）是模形式的，即其L-函数与GL(4)上某同调自守表示的L-函数匹配？
• RQ2 此类表示的张量积是否能产生新的本原、不可约Artin L-函数，满足Artin猜想？
• RQ3 对于由GO(4)-型表示导出的非正规扩张（次数为3^a），强Dedekind猜想是否成立？
• RQ4 能否在奇数m的情形下（特别是当像位于O(n,C)中时）建立GO(2m+1)-型表示的模形式性？
• RQ5 在基变更至二次扩张时，表示在何种条件下保持不可约？这又如何影响其自守性？

主要发现

• 定理A确立了在数域F上，每个连续的4维可解Artin表示（GO(4)-型）都是模形式的，其L(s,ρ) = L(s,π_f)，其中π是GL(4,AF)上的同调自守表示。
• 自守表示π是尖点的，当且仅当伽罗瓦表示ρ是不可约的。
• 推论B确认，Artin猜想对两个此类表示的张量积ρ⊗ρ′成立，即使张量积不可约且维数为16。
• 对每个数域F，存在一个双重无穷族的不可约、本原16维表示ρ⊗ρ′，满足Artin猜想。
• 强Dedekind猜想对非正规扩张N/F（次数为3^a，a ≥ 1）得到验证，ζ_N(s)/ζ_F(s)等于GL(3^a−1)/F上某同调自守形式的L-函数。
• 命题C证明：任意不可约、可解、奇数维的GO(n)-型表示（在数域上）均为单变量表示，因此满足Artin猜想。