[论文解读] Modularity of the Rankin-Selberg L-series, and multiplicity one for SL(2)

Dinakar Ramakrishnan|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2000

Analytic Number Theory Research被引用 6

一句话总结

该论文证明了任意数域上GL(2)上一对尖形式的Rankin-Selberg L函数的模形式性，即其对应的L函数源自GL(4)上的一个自守形式。通过反定理、基域扩张和下降技术，该研究解决了三重积L函数解析延拓与函数方程的长期问题，最终得出SL(2)上的重数一定理，并为模曲线四重积的Tate猜想提供了支持。

ABSTRACT

A fundamental question, first raised by Langlands, is to know whether the Rankin-Selberg product of two (not necessarily holomorphic) cusp forms f and g is modular, i.e., if there exists an automorphic form f box g on GL(4)/Q whose standard L-function equals L^*(s, f x g) after removing the ramified and archimedean factors. The first main result of this paper is to answer it in the affirmative, in fact with the base field Q replaced by any number field F. Our proof uses a mixture of converse theorems, base change and descent, and it also appeals to the local regularity properties of Eisenstein series and the scalar products of their truncations. One of the applications of this result is that the space of cusp forms on SL(2) has multiplicity one. Concretely this means the following: If f, g are newforms of holomorphic or Maass type with trivial character such that the squares of the p-th coeficients of f and g are the same at almost all primes p, then g must be a twist of f by a quadratic Dirichlet character.

研究动机与目标

• 该论文旨在解决任意数域F上GL(2)上尖形式f, g的Rankin-Selberg L函数L(s, f × g)的模形式性问题。
• 其目标是证明Rankin-Selberg L函数源自F上GL(4)的自守表示，从而证实Langlands的猜想。
• 该工作解决了SL(2)上的重数一问题，证明SL(2)上的尖形式空间中不存在重复的不可约分量。
• 研究三重积L函数的函数方程与根数，特别是与正交表示的关系。
• 通过分析上同调中Tate类的代数性，该论文为模曲线四重积的Tate猜想作出贡献。

提出的方法

• 使用GL(4)上的反定理，要求对F上GL(m)/K的尖表示η（m ≤ 2）的L(s, Π × η)具有解析性质。
• 通过将F的可解扩张K/F上的基域扩张来定义全局Rankin-Selberg提升π ⊠ π′，从而在初始阶段避免对局部Langlands对应的需求。
• 应用Arthur对GSp(6)/F上Eisenstein级数的截断方法，控制垂直条带内的有界性，这对反定理至关重要。
• 综合Langlands、Tunnell、Ikeda等人的结果，证明在所有位置上，三重积L函数的三个候选表达式（Euler乘积、积分表示、Langlands-Shahidi方法）一致。
• 通过在循环层上使用归纳法的下降技术，在证明K上模形式性后，将自守形式从K下降到F。
• 依赖于涉及可解基域扩张和基域扩张的函子性的全局论证，以确保L函数满足所需的解析与算术性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意数域F上GL(2)/F的尖形式f, g，Rankin-Selberg L函数L(s, f × g)是否源自F上GL(4)/F的自守表示？
• RQ2 能否证明三重积L函数L(s, π × π′ × η)在不同构造方式（Euler乘积、积分表示、Langlands-Shahidi）下在所有位置上具有相同的局部因子？
• RQ3 SL(2)上的尖形式空间是否具有重数一性质，即不可约自守表示是否以重数一出现？
• RQ4 三重积L函数L(s, π1 × π2 × π3 × π4)在s = 1处的极点阶数精确为何？其何时为零、阶数为1或2？
• RQ5 模曲线四重积上同调中的所有Tate类是否在可解扩张上代数？

主要发现

• Rankin-Selberg L函数L(s, f × g)在任意数域F上是模形式的，即其源自F上GL(4)/F的自守表示。
• 在基域扩张后，三重积L函数L(s, π × π′ × η)在所有位置上，三种构造方式（Euler乘积、积分表示、Langlands-Shahidi）的局部因子一致。
• SL(2)上的尖形式空间具有重数一性质，该结论通过Rankin-Selberg L函数的模形式性以及四重积L函数的结构得到证明。
• L(s, π1 × π2 × π3 × π4)在s = 1处的极点阶数至多为2，且其非零当且仅当某些扭条件在表示之间成立。
• 当π3和π4均为Eisenstein型且(µω1ω3)−1在π3 ⊠ π4中以重数2出现时，极点阶数为2。
• 当至少一个Xj为X0(Nj)且Nj为无平方因子时，模曲线四重积上同调中的所有Tate类在可解扩张上均为代数的。