[论文解读] Modularity of trace functions in orbifold theory for Z-graded vertex operator superalgebras

Chongying Dong, Zhongping Zhao|ArXiv.org|Jan 23, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 14被引用 6

一句话总结

本文在 $\mathbb{Z}$-分次顶点算子超代数（VOSA）的对合理论中建立了 $h\sigma$-迹函数的模不变性，证明当 $V$ 是 $C_2$-有限且 $g$-有理时，这些迹函数构成全模群 $SL(2,\mathbb{Z})$ 的表示。关键结果将模不变性推广至 $\mathbb{Z}$-分次 VOSA，与以往在 $\frac{1}{2}\mathbb{Z}$-分次情形下的结果相区别，表明在 $g$-扭动扇区上，$h\sigma$-迹函数具有模不变性，其应用涵盖如 $V_{\mathbb{Z}\alpha}$ 这类全纯 $\mathbb{Z}$-分次 VOSA。

ABSTRACT

We study the trace functions in orbiford theory for Z-graded vertex operator superalgebras and obtain a modular invariance result. More precisely, let V be a C_2-cofinite Z-graded vertex operator superalgebra and G a finite automorphism group of V. Then for any commuting pairs (g,h) in G, the hσ-trace functions associated to the simple g-twisted V-modules are holomorphic in the upper half plane where σis the canonical involution on V coming from the superspace structure of V. If V is further g-rational for every g n G, the trace unctions afford a representation for the full modular group SL(2,Z).

研究动机与目标

• 在尚未被先前关于 $\frac{1}{2}\mathbb{Z}$-分次 VOSA 的结果完全覆盖的 $\mathbb{Z}$-分次顶点算子超代数（VOSA）设定下，建立对合理论中迹函数的模不变性。
• 填补无法从 $\frac{1}{2}\mathbb{Z}$-分次构造获得的 $\mathbb{Z}$-分次 VOSA 中模不变性结果的空白。
• 阐明模不变性模式的差异：对于 $\mathbb{Z}$-分次 VOSA，$h\sigma$-迹函数在 $g$-扭动扇区上是模不变的，而 $\frac{1}{2}\mathbb{Z}$-分次情形下则是 $g\sigma$-扭动扇区具有此性质。
• 将 $C_2$-有限性与 $g$-有理性条件推广至 $\mathbb{Z}$-分次 VOSA，以确保迹函数的表示空间为有限维。

提出的方法

• 定义具有 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_2$-分次结构的 $\mathbb{Z}$-分次顶点算子超代数，包括由超空间结构导出的典范对合 $\sigma = (-1)^F$。
• 引入结合代数 $A_g(V)$，通过 $A_g(V)$-模对 $g$-扭动 $V$-模进行分类，扩展 [DLM3] 和 [DZ2] 的方法。
• 在环面上定义 $1$-点函数为 $g$-扭动模上的 $h\sigma$-迹函数，利用 $\sigma$-扭动作用定义超迹。
• 证明当 $V$ 是 $g$-有理时，非等价 $h\sigma$-稳定 $g$-扭动模上的 $h\sigma$-迹函数构成空间 $\mathcal{C}(g,h)$ 的基，从而确保模表示。
• 利用 $\mathbb{Z}$-分次结构定义一个新的 Virasoro 元素 $\tilde{\omega} = \omega - \frac{c}{24}$，通过 $Y[v,z] = Y(v,e^z - 1)e^{z \cdot \mathrm{wt}(v)}$ 在顶点算子代数上诱导 $\mathbb{Z}$-分次，从而实现模变换分析。
• 通过在全纯 $\mathbb{Z}$-分次 VOSA $V_{\mathbb{Z}\alpha}$ 上的显式计算验证模不变性，表明迹函数在 $SL(2,\mathbb{Z})$ 作用下表现为模形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 与 $\frac{1}{2}\mathbb{Z}$-分次情形相比，$\mathbb{Z}$-分次顶点算子超代数中迹函数的模不变性有何不同？
• RQ2 在 $\mathbb{Z}$-分次 VOSA 中，模不变性的正确扭动扇区和迹函数（特别是 $h\sigma$-迹）是什么？
• RQ3 能否通过 $C_2$-有限性与 $g$-有理性条件，确保 $g$-扭动模上的 $h\sigma$-迹函数构成 $SL(2,\mathbb{Z})$ 的模表示？
• RQ4 $\u005Cmathbb{Z}$-分次 VOSA 的迹函数与它们的 $\frac{1}{2}\mathbb{Z}$-分次对应物（特别是 $V_{\mathbb{Z}\alpha}$ 情形）有何关联？
• RQ5 能否在 $V_{\mathbb{Z}\alpha}$ 这类具体例子中显式验证 $h\sigma$-迹函数的模变换性质？

主要发现

• 对于 $C_2$-有限的 $\mathbb{Z}$-分次 VOSA $V$ 及其有限自同构群 $G$，$g$-扭动模上的 $h\sigma$-迹函数是上半平面上的全纯模形式。
• 当 $V$ 对所有 $g \in G$ 均为 $g$-有理时，非等价 $h\sigma$-稳定 $g$-扭动 $V$-模上的 $h\sigma$-迹函数构成空间 $\mathcal{C}(g,h)$ 的基，从而实现 $SL(2,\mathbb{Z})$ 的表示。
• $\u005Cmathbb{Z}$-分次 VOSA 的模不变性模式具有独特性：$h\sigma$-迹函数在 $g$-扭动扇区上是模不变的，而 $\frac{1}{2}\mathbb{Z}$-分次情形下则是 $g\sigma$-扭动扇区具有此性质。
• 在中心荷 $c' = -2$ 的全纯 $\mathbb{Z}$-分次 VOSA $V_{\mathbb{Z}\alpha}$ 的例子中，$h\sigma$-迹函数可表示为 $\eta(\tau)^{-1} \theta_i(q)$，其中 $\theta_1, \theta_2, \theta_3, \theta_4$ 为雅可比 theta 函数。
• 迹函数 $T(\mathbf{1},(g,h),\tau)$ 的模变换法则与模形式一致，通过 $\eta(\tau)$ 和 $\theta_i(q)$ 的已知恒等式确认其在 $SL(2,\mathbb{Z})$ 作用下的不变性。
• 在 $\mathbb{Z}$-分次 $V_{\mathbb{Z}\alpha}$ 及其 $\frac{1}{2}\mathbb{Z}$-分次对应物 $V_L$ 中，迹函数完全相同，验证了不同分次系统间的一致性。