[论文解读] Module Biprojective and Module Biflat Banach Algebras

Abasalt Bodaghi, Massoud Amini|ArXiv.org|Dec 20, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 16被引用 11

一句话总结

本文引入了模双投影和模双平坦 Banach 代数——这是 Banach 代数在另一 Banach 代数上模作用下的经典双投影性和双平坦性的推广。研究证明，对于一个具有向上定向幂等元 $E$ 的逆半群 $S$，其半群代数 $\

ABSTRACT

In this paper we define module biprojctivity and module biflatness for a Banach algebra which is a Banach module over another Banach algebra with compatible actions, and find their relation to classical biprojectivity and biflatness. As a typical example, We show that for an inverse semigroup $S$ with an upward directed set of idempotents $E$, the semigroup algebra $ \ell ^{1}(S)$, as an $\ell ^{1}(E)$-module, is module biprojective if and only if an appropriate group homomorphic image of $S$ is finite. Also we show that $\ell ^{1}(S)$ is module biflat if and only if $S$ is amenable.

研究动机与目标

• 将经典的双投影性和双平坦性概念推广至另一 Banach 代数上具有相容作用的模 Banach 代数。
• 在逆半群代数的背景下，研究模双投影性、模双平坦性与模可约性/超可约性之间的关系。
• 刻画当 $S$ 是一个具有向上定向幂等元的逆半群时，$\ell^1(S)$ 的模双投影和模双平坦结构。
• 阐明模性质与半群结构性质（如群像 $S/\approx$ 的有限性及 $S$ 的可约性）之间的联系。
• 将关于半群代数双平坦性和双投影性的已知结果推广至模理论框架。

提出的方法

• 为一个作为另一 Banach 代数 $\mathfrak{A}$ 上模的 Banach 代数 $\mathcal{A}$ 定义模双投影性和模双平坦性，要求作用相容。
• 利用商代数 $\mathcal{A}/J$，其中 $J$ 是由 $\alpha \cdot (ab) - (ab) \cdot \alpha$ 生成的闭理想（$a \in \mathcal{A}, \alpha \in \mathfrak{A}$），将模性质与经典性质联系起来。
• 应用先前工作中关于模可约性和模超可约性的结果，建立 $\ell^1(S)$ 作为 $\ell^1(E)$-模的等价条件。
• 利用同构关系 $\ell^1(S)/J \cong \ell^1(S/\approx)$，其中 $S/\approx$ 是 $S$ 的群像，将问题约化为群代数的性质。
• 利用逆半群及其群像中可约性和有限性的已知刻画，推导出模条件。
• 利用 $\ell^1(S) \widehat{\otimes}_{\ell^1(E)} \ell^1(S)$ 是一个交换的 $\ell^1(E)$-模的事实，分析模张量积。

实验结果

研究问题

• RQ1 当一个作为另一 Banach 代数 $\mathfrak{A}$-模的 Banach 代数 $\mathcal{A}$ 是模双投影时，其条件是什么？
• RQ2 该代数在何种情况下是模双平坦的？这与经典双投影性和双平坦性有何关系？
• RQ3 对于一个具有向上定向幂等元 $E$ 的逆半群 $S$，其半群代数 $\ell^1(S)$ 作为 $\ell^1(E)$-模何时是模双投影的？
• RQ4 何时是模双平坦的？
• RQ5 该代数的模性质如何与群像 $S/\approx$ 的有限性及 $S$ 的可约性相关联？

主要发现

• 对于一个具有向上定向幂等元 $E$ 的逆半群 $S$，$\ell^1(S)$ 作为 $\ell^1(E)$-模是模双投影的，当且仅当其群像 $S/\approx$ 是有限的。
• 同一代数 $\ell^1(S)$ 作为 $\ell^1(E)$-模是模双平坦的，当且仅当 $S$ 是可约的。
• 若 $S/\approx$ 是无限的，则 $\ell^1(S)$ 即使是模双投影的，也不是双投影的。
• 若 $\ell^1(S)$ 是双平坦的，则 $S$ 必须是可约的，这表明经典双平坦性蕴含可约性条件。
• 对于双循环半群 $\mathcal{C}$，$\ell^1(\mathcal{C})$ 是模双平坦的但不是模双投影的，因为 $\mathcal{C}/\approx \cong \mathbb{Z}$ 是无限的。
• 对于最大运算下的半群 $\mathbb{N}$，$\ell^1(\mathbb{N})$ 是模双投影和模双平坦的（因为 $\mathbb{N}/\approx$ 是平凡的），但其在卷积下不是双投影或双平坦的，原因在于缺乏一致的局部有限性。