[论文解读] Moduli of Flat Conformal Structures of Hyperbolic Type

Graham Smith|ArXiv.org|Apr 4, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用 8

一句话总结

本文在双曲空间 $$\mathbb{H}^{n+1}$$ 中构造了一类一参数族的光滑、严格凸超曲面，其具有常数特殊拉格朗日子曲率，且这些超曲面在与双曲型平坦共形结构（FCS）相关联的典型双曲端的有限边界邻域内形成叶状结构。通过使用 Kulkarni-Pinkall 度量和特殊拉格朗日子曲率算子 $R_\theta$，作者证明这些超曲面可光滑逼近边界，并建立了双曲端及其 Kulkarni-Pinkall 度量关于底层 FCS 的连续依赖性。

ABSTRACT

To each flat conformal structure (FCS) of hyperbolic type in the sense of Kulkarni-Pinkall, we associate, for all $θ\in[(n-1)π/2,nπ/2[$ and for all $r>\opTan(θ/n)$ a unique immersed hypersurface $Σ_{r,θ}=(M,i_{r,θ})$ in $\Bbb{H}^{n+1}$ of constant $θ$-special Lagrangian curvature equal to $r$. We show that these hypersurfaces smoothly approximate the boundary of the canonical hyperbolic end associated to the FCS by Kulkarni and Pinkall and thus obtain results concerning the continuous dependance of the hyperbolic end and of the Kulkarni-Pinkall metric on the flat conformal structure.

研究动机与目标

• 在 $\mathbb{H}^{n+1}$ 中构造一族光滑、严格凸超曲面，使其在与双曲型平坦共形结构（FCS）相关联的双曲端的有限边界邻域内形成叶状结构。
• 建立双曲端及 Kulkarni-Pinkall 度量关于底层 FCS 的连续依赖性。
• 通过特殊拉格朗日子曲率推广 Labourie 在三维情形下对几何有限双曲流形模空间的参数化结果至高维。
• 通过双曲空间中具有受控曲率的嵌入超曲面，为 FCS 的发展映射和单值化数据提供几何实现。

提出的方法

• 对每个 $\theta \in [(n-1)\pi/2, n\pi/2[$ 和 $r > \tan(\theta/n)$，在 $\mathbb{H}^{n+1}$ 中构造一个浸入超曲面 $\Sigma_{r,\theta} = (M, i_{r,\theta})$，其具有常数 $\theta$-特殊拉格朗日子曲率 $r$。
• 利用通过 $\mathbb{H}^{n+1}$ 的单位法丛定义的特殊拉格朗日子曲率算子 $R_\theta$ 来刻画曲率条件。
• 利用 $M$ 上的 Kulkarni-Pinkall 度量 $g_{KP}$，其为具有截面曲率值在 $[-1,1]$ 内的完备 $C^{1,1}$ 度量，且与 FCS 有自然关联。
• 应用几何最大值原理，将 $\Sigma_r$ 与 Nielsen 核 $K$ 的边界距离函数的等值面进行比较，以获得一致的距离估计。
• 利用发展映射 $\varphi: \tilde{M} \to S^n$ 和单值化 $\theta: \pi_1(M) \to \mathrm{Conf}(S^n)$ 将 FCS 结构上拉至 $\mathbb{H}^{n+1}$，确保等变性与严格凸性。
• 证明族 $\Sigma_r$ 叶状覆盖整个双曲端 $\mathcal{E}$，且当 $r \to \tan(\theta/n)^+$ 时，收敛于理想边界 $\partial_\infty \mathcal{E}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在双曲型平坦共形结构的双曲端的有限边界邻域内，构造一族连续的光滑、严格凸超曲面，使其形成叶状结构？
• RQ2 特殊拉格朗日子曲率 $R_\theta$ 如何控制这些超曲面的几何性质及其向边界收敛的行为？
• RQ3 Kulkarni-Pinkall 度量与超曲面 $\Sigma_r$ 的诱导几何之间存在何种关系？
• RQ4 由 $\Sigma_r$ 叶状覆盖的双曲端是否可对奇异的、分层的边界 $i_{KP}(M)$ 实现光滑化？
• RQ5 在何种条件下，FCS 的发展映射会不是满射，其几何后果是什么？

主要发现

• 对于紧致 $n$-流形 $M$ 上的每个双曲型平坦共形结构，以及每个 $\theta \in [(n-1)\pi/2, n\pi/2[$ 和 $r > \tan(\theta/n)$，存在唯一一个浸入于 $\mathbb{H}^{n+1}$ 的超曲面 $\Sigma_{r,\theta}$，其具有常数 $\theta$-特殊拉格朗日子曲率 $r$。
• 族 $\{\Sigma_r\}_{r > \tan(\theta/n)}$ 在与 FCS 相关联的典型双曲端 $\mathcal{E}$ 的有限边界 $\partial_0\mathcal{E}$ 的邻域内形成光滑叶状结构。
• 当 $r \to \tan(\theta/n)^+$ 时，超曲面 $\Sigma_r$ 在 Hausdorff 拓扑下收敛于理想边界 $\partial_\infty\mathcal{E}$。
• 叶状结构 $\{\Sigma_r\}$ 覆盖了整个双曲端 $\mathcal{E}$，而不仅限于有限边界的邻域。
• 该构造通过曲率参数 $r$ 建立了双曲端与 Kulkarni-Pinkall 度量关于底层 FCS 的连续依赖性。
• 利用 Kulkarni-Pinkall 度量重新证明了 Kamishima 的结果，表明若闭共形平坦流形的发展映射不是满射，则其为覆盖映射，且 $L(\Gamma) = \partial \varphi(\tilde{M})$。