[论文解读] Moduli of framed sheaves on projective surfaces

Ugo Bruzzo, Dimitri Markushevich|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用 20

一句话总结

本文建立了在光滑射影曲面上，沿一个大且 nef 除子配备有“良好框架”的无挠层的精细拟射影模空间的存在性。通过证明此类框架层在 Huybrechts 和 Lehn 意义下的稳定对（stable pairs）性质，作者构建了一个行为良好的模空间，并计算了其光滑性的障碍，证明该障碍位于迹映射的核中——将 Lübke 的结果推广到了非局部自由的情形。

ABSTRACT

We show that there exists a fine moduli space for torsion-free sheaves on a projective surface, which have a "good framing" on a big and nef divisor. This moduli space is a quasi-projective scheme. This is accomplished by showing that such framed sheaves may be considered as stable pairs in the sense of Huybrechts and Lehn. We characterize the obstruction to the smoothness of the moduli space, and discuss some examples on rational surfaces.

研究动机与目标

• 为光滑射影曲面上沿大且 nef 除子具有“良好框架”的无挠层构造精细模空间。
• 证明此类框架层在 Huybrechts 和 Lehn 意义下为稳定对，从而实现模空间的构造。
• 刻画模空间光滑性的障碍空间结构，改进先前结果。
• 对模空间结构进行详细分析，证明其为拟射影且分离的。
• 在 Hirzebruch 曲面和 ℙ² 的 blows-up 上给出具体例子，阐明模空间的几何结构。

提出的方法

• 作者通过引入基于极化 H 和参数 δ 的稳定性条件，将框架层嵌入稳定对的框架中。
• 在温和条件下，证明所有考虑的框架层均为 (H,δ)-稳定，从而可将模空间构造为稳定对模空间的开子概形。
• 通过利用稳定对的精细模空间结构，证明模空间为拟射影概形。
• 识别出光滑性的障碍空间位于迹映射的核中，将 Lübke 的结果推广至非局部自由层的情形。
• 在特殊情形下，使用 ADHM 构造作为比较，证明其与稳定对方法等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 在射影曲面上，沿大且 nef 除子具有良好框架的框架层是否存在精细拟射影模空间？
• RQ2 框架层能否嵌入稳定对模空间中？该构造是否产生行为良好的模空间？
• RQ3 框架层模空间光滑性的障碍空间的精确结构是什么？
• RQ4 在 Hirzebruch 曲面和 ℙ² 的 blows-up 等特定曲面上，模空间的行为如何？
• RQ5 当两种方法均适用时，框架层模空间是否与 ADHM 构造等价？

主要发现

• 在光滑射影曲面上，沿大且 nef 除子具有良好框架的框架层模空间是一个精细拟射影概形。
• 框架层被证明为 (H,δ)-稳定对，从而可通过稳定对模空间实现构造。
• 光滑性的障碍空间位于迹映射的核中，将 Lübke 的结果推广至非局部自由情形。
• 对于 p-th Hirzebruch 曲面 M(r,k,n)，当 n = N = pk(r−k)/(2r) 时，该空间是 Grassmannian G(k,r) 上的秩为 k(r−k)(p−1) 的向量丛。
• 在 ℱ₁ 上的秩 2 线丛情形，模空间在例外除子上按分裂类型分层，第 k 个分层的纤维同构于 M(n−k) 上的维数为 2k+1 的射影空间。