[论文解读] Moduli of parabolic connections on a curve and Riemann-Hilbert correspondence

Michi-aki Inaba|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用 17

一句话总结

本文证明了黎曼-希尔伯特对应关系在具有指定局部单值性数据的极化联络模空间与基本群表示模空间之间诱导出一个恰当的、满射的、双全纯的双射态射。关键结果通过该态射的性质及模空间上的叶状结构，确认了等单值变形的几何Painlevé性质。

ABSTRACT

Let $(C,\bt)$ ($\bt=(t_1,...,t_n)$) be an $n$-pointed smooth projective curve of genus $g$ and take an element $\blambda=(λ^{(i)}_j)\in\C^{nr}$ such that $-\sum_{i,j}λ^{(i)}_j=d\in\mathbf{Z}$. For a weight $\balpha$, let $M_C^{\balpha}(\bt,\blambda)$ be the moduli space of $\balpha$-stable $(\bt,\blambda)$-parabolic connections on $C$ and let $RP_r(C,\bt)_{\ba}$ be the moduli space of representations of the fundamental group $π_1(C\setminus\{t_1,...,t_n\},*)$ with the local monodromy data $\ba$ for a certain $\ba\in\C^{nr}$. Then we prove that the morphism $\RH:M_C^{\balpha}(\bt,\blambda) ightarrow RP_r(C,\bt)_{\ba}$ determined by the Riemann-Hilbert correspondence is a proper surjective bimeromorphic morphism. As a corollary, we prove the geometric Painlevé property of the isomonodromic deformation defined on the moduli space of parabolic connections.

研究动机与目标

• 建立在带标记点的代数曲线上，极化联络模空间与基本群表示模空间之间的几何对应关系。
• 证明这两个模空间之间的黎曼-希尔伯特态射是恰当的、满射的且双全纯的。
• 利用模空间的结构及其叶状结构，证明等单值变形的几何Painlevé性质。

提出的方法

• 构造光滑射影曲线 $ C $ 上具有 $ n $ 个标记点的 $ \alpha $-稳定 $ (\mathbb{t}, \boldsymbol{\lambda}) $-极化联络的模空间 $ M_C^\alpha(\mathbb{t}, \boldsymbol{\lambda}) $。
• 定义基本群 $ \pi_1(C \setminus \{t_1, \dots, t_n\}, *) $ 的表示模空间 $ RP_r(C, \mathbb{t})_\alpha $，其局部单值性数据固定为 $ \alpha $。
• 利用黎曼-希尔伯特对应关系，定义一个态射 $ \mathop{\bf RH}\nolimits: M_C^\alpha(\mathbb{t}, \boldsymbol{\lambda}) \to RP_r(C, \mathbb{t})_\alpha $，并证明其为双全纯态射。
• 分析该态射下相对切丛的拉回，证明其在极化联络模空间上定义了一个叶状结构 $ \mathcal{F}_M $。
• 证明 $ \mathcal{F}_M $ 在 $ \mathop{\bf RH}\nolimits $ 下的像与表示模空间上的叶状结构 $ \mathcal{F}_R $ 一致。
• 利用恰当性与紧致性，通过路径提升技术证明水平提升路径的存在性，从而确认几何Painlevé性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 黎曼-希尔伯特对应关系在极化联络模空间与表示模空间之间是否为恰当的、满射的且双全纯的态射？
• RQ2 极化联络模空间上的叶状结构在黎曼-希尔伯特映射下是否与表示模空间上的叶状结构相对应？
• RQ3 能否从黎曼-希尔伯特对应关系在这些模空间上的双全纯性质推导出等单值变形的几何Painlevé性质？

主要发现

• 黎曼-希尔伯特态射 $ \mathop{\bf RH}\nolimits: M_C^\alpha(\mathbb{t}, \boldsymbol{\lambda}) \to RP_r(C, \mathbb{t})_\alpha $ 是一个恰当的、满射的、双全纯的态射。
• 黎曼-希尔伯特态射下相对切丛的拉回在极化联络模空间上定义了一个叶状结构 $ \mathcal{F}_M $。
• $ \mathcal{F}_M $ 在 $ \mathop{\bf RH}\nolimits $ 下的像与表示模空间上的叶状结构 $ \mathcal{F}_R $ 一致。
• 极化联络模空间中路径的水平提升存在性，确认了等单值变形的几何Painlevé性质。
• 构造保证了基空间中的任意路径均可局部提升为叶状结构的一条叶，且由于恰当性与紧致性，该提升可延拓至整条路径。