[论文解读] Moduli of parahoric $\mathcal G$--torsors on a compact Riemann surface

V. Balaji, C. S. Seshadri|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用 7

一句话总结

本文通过从Fuchsian群到半单单连通代数群 $G$ 的极大紧致子群的同态，利用Bruhat-Tits群概形 $σ$，构造了紧致黎曼曲面上半稳定抛物型 $σ$-挠子的模空间。关键结果将模空间的底层拓扑空间与特定共轭类型 $\boldsymbol{\tau}$ 的此类同态空间自然对应，推广了Mehta-Seshadri关于抛物向量丛的工作。

ABSTRACT

Let $X$ be an irreducible smooth projective algebraic curve of genus $g \geq 2$ over the ground field $\bc$ and let $G$ be a semisimple simply connected algebraic group. The aim of this paper is to introduce the notion of semistable and stable parahoric torsors under a certain Bruhat-Tits group scheme $\mathcal G$ and construct the moduli space of semistable parahoric $\mathcal G$--torsors; we also identify the underlying topological space of this moduli space with certain spaces of homomorphisms of Fuchsian groups into a maximal compact subgroup of $G$. The results give a generalization of the earlier results of Mehta and Seshadri on parabolic vector bundles. This is the final version of the accepted paper.

研究动机与目标

• 将半稳定抛物向量丛的模空间构造方法推广到紧致黎曼曲面上Bruhat-Tits群概形 $σ$ 下的抛物型挠子情形。
• 在半单单连通代数群 $G$ 的背景下，定义并研究抛物型 $σ$-挠子的半稳定性和稳定性概念。
• 建立半稳定抛物型 $σ$-挠子模空间与从基本群到 $G$ 的极大紧致子群的同态空间（固定共轭类型 $\boldsymbol{\tau}$）之间的拓扑同胚。

提出的方法

• 将紧致黎曼曲面 $X$ 的均匀化表示为 $\mathbb{H}/\pi$，其中 $\pi$ 是在 $m$ 个点处具有指定分歧数据的Fuchsian群。
• 将抛物型挠子定义为曲面 $X$ 上的 $\mathcal{G}$-挠子，配备与 $G$ 的有理一参数子群相对应的权重 $\boldsymbol{\theta}$，从而推广抛物丛。
• 基于关联同态 $\rho: \pi \to G$ 的类型 $\boldsymbol{\tau}$，引入类似于抛物丛的抛物型挠子的稳定性条件。
• 通过几何不变理论（GIT）将模空间构造为射影代数簇，并将其底层拓扑空间识别为 $R^{\boldsymbol{\tau}}(\pi, K_G)$，即类型 $\boldsymbol{\tau}$ 的 $K_G$-值同态空间。
• 应用Bruhat-Tits群概形与Iwahori子群的理论，定义抛物型挠子模堆栈之间的广义Hecke对应关系。
• 通过覆盖群将构造推广到约化群的情形，分析普遍覆盖群的中心在其中的作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将抛物向量丛的半稳定性和稳定性概念推广到紧致黎曼曲面上Bruhat-Tits群概形 $\mathcal{G}$ 下的抛物型挠子？
• RQ2 半稳定 $\mathcal{G}$-挠子模空间的拓扑结构是什么？它与曲面基本群到 $G$ 的极大紧致子群的同态之间有何关系？
• RQ3 能否通过GIT将抛物型挠子的模空间构造为射影代数簇？其维数如何用亏格和分歧数据表示？
• RQ4 在抛物型挠子的背景下，Hecke对应关系如何产生？它们与不同抛物型结构模堆栈之间映射的关系是什么？
• RQ5 模空间 $\mathcal{G}$-挠子与固定类型 $\boldsymbol{\tau}$ 的表示 $\rho: \pi \to K_G$ 的空间之间存在何种关系？

主要发现

• 半稳定 $\mathcal{G}$-挠子模空间 $M(\mathcal{G}_{\boldsymbol{\theta}_{\boldsymbol{\tau}},X})$ 是一个正规射影代数簇，通过GIT构造，其底层拓扑空间自然同胚于 $K_G$-值同态空间 $R^{\boldsymbol{\tau}}(\pi, K_G)$（类型 $\boldsymbol{\tau}$）。
• 模空间的复维数为 $\dim_{\mathbb{C}}(G)(g-1) + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^m e(\boldsymbol{\theta}_{\boldsymbol{\tau}})$，其中 $e(\boldsymbol{\theta}_{\boldsymbol{\tau}})$ 是权重 $\boldsymbol{\theta}_{\boldsymbol{\tau}}$ 的函数。
• 对于约化群 $H$，$H$-丛的模空间与单连通覆盖 $\tilde{H}$ 的模空间相关，其连通分支数等于 $\tilde{H}$ 的中心的阶。
• Hecke对应关系通过抛物型群概形的态射构造，例如 $\mathcal{G}_\mathcal{I} \to \mathcal{G}^{st}_\alpha$ 和 $\mathcal{G}_\mathcal{I} \to \mathcal{G}_{\theta_\alpha}$，从而诱导模堆栈之间的映射。
• 该构造推广了经典的Mehta-Seshadri结果：当 $G = GL(n)$ 时，抛物型挠子的模空间恢复为抛物向量丛的模空间。
• 表示空间 $R^{\boldsymbol{\tau}}(\pi, K_G)$ 从拓扑上参数化了模空间，且该同胚对所有半单单连通 $G$ 成立。