[论文解读] Moduli of Prym curves

Edoardo Ballico, Cinzia Casagrande+1 more|ArXiv.org|Apr 15, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用 10

一句话总结

本文提出了一种对Prym曲线模空间的替代紧化——即配备非分歧双覆盖的亏格$g$曲线——采用类似于Cornalba的旋曲线模空间的构造方法。它建立了Prym模空间正分量与Beauville的紧化Prym模空间$¯{R}_g$之间的显式同构，并通过其对偶图对每条稳定曲线的纤维给出了组合描述，揭示了其与旋曲线情形不同的分支行为。

ABSTRACT

Here we focus on the compactification of the moduli space of curves of genus g together with an unramified double cover, constructed by Arnaud Beauville in order to compactify the Prym mapping. We present an alternative description of it, inspired by the moduli space of spin curves of Maurizio Cornalba, and we discuss in detail its main features, both from a geometrical and a combinatorial point of view.

研究动机与目标

• 为$¯{R}_g$，即Prym曲线的紧化模空间，提供一种新的、几何与组合学共同启发的描述。
• 在$¯{\mathcal{M}}_g$上，建立Prym模空间的正分量$¯{\mathrm{Pr}}_g^+$与Beauville的$¯{R}_g$之间的显式同构。
• 通过稳定曲线的对偶图分析模空间$¯{\mathrm{Pr}}_g \to ¯{\mathcal{M}}_g$的分支行为。
• 比较$¯{\mathrm{Pr}}_g$与旋曲线模空间$¯{S}_g$的纤维组合结构。

提出的方法

• 将Prym曲线定义为亏格$g$的拟稳定曲线$X$，配备一个度数为0、在例外分量上度数为1的线丛$\eta$，以及一个非退化的同态$\beta: \eta^{\tens 2} \to \mathcal{O}_X$。
• 将$¯{\mathrm{Pr}}_g$构造为参数化Prym曲线同构类的射影代数簇，其包含两个不可约分支：$¯{\mathrm{Pr}}_g^-$同构于$¯{\mathcal{M}}_g$，$¯{\mathrm{Pr}}_g^+$同构于$¯{R}_g$。
• 利用稳定曲线$Z$的对偶图$\Gamma_Z$来描述在$[Z] \in ¯{\mathcal{M}}_g$处的概型纤维$¯{\mathrm{Pr}}_Z$。
• 定义一个乘法集$L(\mathrm{Pr}_Z)$，其元素为对$\Gamma_Z$的子图的2的幂次，其中乘法依赖于子图的一阶贝蒂数。
• 应用Caporaso的紧化通用佩卡德簇的结果，将$¯{\mathrm{Pr}}_g$嵌入更大的模空间中。
• 利用$\Gamma_Z$的组合不变量分析分支与纤维结构，从而将$¯{\mathrm{Pr}}_g$与$¯{S}_g$区分开来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过类似于Cornalba的旋曲线模空间的构造方法，重新诠释Prym曲线模空间$¯{R}_g$？
• RQ2 Prym模空间的正分量$¯{\mathrm{Pr}}_g^+$与Beauville的$¯{R}_g$之间的确切关系是什么？
• RQ3 模空间$¯{\mathrm{Pr}}_g \to ¯{\mathcal{M}}_g$的分支行为如何依赖于稳定曲线的对偶图？
• RQ4 在组合结构上，$¯{\mathrm{Pr}}_g$的纤维与$¯{S}_g$的纤维有何不同？
• RQ5 乘法集$L(\mathrm{Pr}_Z)$能否检测稳定曲线$Z$的几何特征？

主要发现

• Prym模空间的正分量$¯{\mathrm{Pr}}_g^+$与Beauville的$¯{R}_g$在$¯{\mathcal{M}}_g$上同构，为$¯{R}_g$提供了新的几何解释。
• 在稳定曲线$Z$处的纤维$¯{\mathrm{Pr}}_Z$中，$L(\mathrm{Pr}_Z)$的乘法为2的幂次，最大乘法为$2^{b_1(\Gamma_Z)}$。
• 模态映射$¯{\mathrm{Pr}}_g \to ¯{\mathcal{M}}_g$在$¯{\mathcal{M}}_g^0 \setminus D_{\text{irr}}$上是平态的，即在无有理分量的曲线的闭包上。
• 一般情况下，纤维$¯{\mathrm{Pr}}_Z$与$S_Z$（旋曲线情形）不构同，且$L(\mathrm{Pr}_Z)$可能包含1，而$L(S_Z)$可能不包含。
• 若$Z$仅由具有偶数个节点（至少四个）的光滑分量组成，则$L(\mathrm{Pr}_Z)$可判断$Z$是两个还是三个光滑分量的并。
• 对于某些对偶图$\Gamma_Z$，$L(\mathrm{Pr}_Z)$可区分具有不同拓扑类型的曲线，即使$L(S_Z)$无法做到。