[论文解读] Moduli of Representations I. Projections from Quivers

Jiarui Fei|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文提出了一种函子性、双有理几何的方法，通过从 quiver 的正交投影来研究 quiver 表示的模空间。通过利用双模函子构造一个有理映射，证明在温和条件下，由 GIT 商诱导的映射是一个爆破（blow-up），并给出了 ample 分子的拉回的显式公式，该方法在 Fano 代数簇和典范除子的研究中具有应用价值。

ABSTRACT

We use categorical method and birational geometry to study moduli spaces of quiver representations. From certain "representable" functor, we construct a birational transformation from the moduli space of representations of one quiver to another new quiver with one vertex less. The dimension vector and the stability for the new moduli are determined functorially. We introduce several relative notions of stability to study such a birational transformation. The essential case is proven to be the usual blow-ups. Moreover, we compare the induced ample divisors for the two moduli. We illustrate this theory by various examples.

研究动机与目标

• 开发一种基于双模和正交投影的函子性方法，以构造 quiver 表示模空间之间的双有理变换。
• 理解在这些投影下稳定性条件与模空间如何变化，特别是与墙穿跃（wall-crossing）和 GIT 商的关系。
• 建立在诱导双有理映射下 ample 分子拉回的精确公式，将表示理论与代数几何联系起来。
• 证明双有理变换的本质情况为标准爆破，明确描述异常除子与爆破基底的几何结构。
• 将模空间上的反典范除子与典范类联系起来，证明在温和条件下模空间为 Fano 型。

提出的方法

• 使用与一个例外表示 E 相关的右正交投影函子 RQE，该函子诱导出一个少一个顶点的新 quiver QE。
• 从 Q 的 α 维度 σβ- 稳定表示的模空间到 QE 的 α′ 维度 σ′β∨E- 稳定表示的模空间构造一个有理映射 ϕE。
• 应用几何不变理论（GIT）通过半稳定局部的商构造模空间，利用函子性构造关联稳定性条件。
• 运用半不变量环与 G-线性化的理论，定义并比较模空间上的 ample 分子。
• 使用 Luna 的切片定理与广义欧拉序列分析典范除子，并在余维数假设下验证 Fano 性质。
• 应用 Thaddeus 关于 GIT 变化的结果，证明在本质情况下双有理变换为爆破，且能明确描述异常除子与基底。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，正交投影函子会在 quiver 表示的模空间之间诱导出双有理映射？
• RQ2 稳定性条件在投影函子下如何变换？稳定性空间中的墙与双有理几何之间有何关系？
• RQ3 诱导的有理映射的精确几何性质为何？具体而言，它是否为爆破？若是，爆破基底与异常除子为何？
• RQ4 模空间上诱导的 ample 分子之间有何关系？能否为目标模空间上的除子拉回导出公式？
• RQ5 quiver 表示的模空间在何种情况下为 Fano 型？反典范除子与典范类之间有何关系？

主要发现

• 由正交投影诱导的有理映射 ϕE 是双有理的，且将原 quiver 的半稳定局部同构地映射到目标模空间中的像。
• 在温和条件下，若稳定性参数仅穿过一个墙，则映射 ϕE 是目标模空间沿一个维数为 −⟨ǫ, α − ǫ⟩Q 的不可约子簇的爆破。
• 爆破的异常除子同构于以 E 为商的表示的商，而爆破基底同构于以 E 为子表示的表示的商。
• 目标模空间上 ample 分子 Dβ∨ 的拉回满足 Dβ = ϕ∗E(Dβ∨) − ⟨β, ǫ⟩QEβ，其中 QEβ 为异常除子。
• 在反典范稳定性情形下，若满足余维数-2 条件 ⊛，则模空间上的反典范除子与典范类重合，从而模空间为 Fano 型。
• 对于特定例子如在一点爆破 P² 或沿扭曲三次曲线爆破 P³，赋予基点的线性系统 |O(d)| 与除子类一致，且整体截面空间的维数可显式计算（例如 h⁰ = 5 或 10）。