[论文解读] Moduli of stable maps with fields

Renata Picciotto|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用 1

一句话总结

本文引入了关于三元组 (X, E, s) 的稳定映射带场的模空间，其中 X 为光滑射影代数簇，E 为向量丛，s 为正则截面。该文构造了一个余截面局部化的虚拟类，其与稳定映射到 s 的零点集的模空间上的虚拟基本类一致，推广了量子 Lefschetz 超平面原理，并扩展至具有射影粗模空间的 Deligne–Mumford 堆栈上的扭稳定映射。

ABSTRACT

Given a triple (𝑋,𝘌,𝘴) of a smooth projective variety, a rank 𝘳 vector bundle and a regular section, we construct a moduli of stable maps to 𝑋 with fields together with a cosection localized virtual class. We show the class coincides up to a sign with the virtual fundamental class on the moduli space of stable maps to the vanishing locus 𝘡 of 𝘴. We show that this gives a generalization of the Quantum Lefschetz hyperplane principle, which relates the virtual classes of the moduli of stable maps to 𝑋 and that of the moduli of stable maps to 𝘡 if the bundle 𝘌 is convex. We further generalize this result by considering (𝒳,ɛ,s) where 𝒳is a smooth Deligne--Mumford stack with projective coarse moduli space. In this setting, we can construct a moduli space of twisted stable maps to 𝒳with fields. This moduli space will have (possibly disconnected) components of constant virtual dimension indexed by 𝓃-tuples of components of the inertia stack of 𝒳. We show that its cosection localized virtual class on each component agrees up to a sign with the virtual fundamental class of a corresponding component of the moduli of twisted stable maps to ƶ=s=0. This generalizes similar comparison results of Chang--Li, Kim--Oh and Chang--Li and presents a different approach from Chen--Janda--Webb.

研究动机与目标

• 为配备向量丛 E 与正则截面 s 的光滑射影代数簇 X 构造一个带场的稳定映射模空间。
• 在该模空间上定义一个余截面局部化的虚拟类，使其与稳定映射到零点集 Z = s⁻¹(0) 的模空间上的虚拟基本类相关联。
• 将量子 Lefschetz 超平面原理推广至带场的稳定映射情形，特别是在 E 为凸向量丛时。
• 将构造扩展至具有射影粗模空间的光滑 Deligne–Mumford 堆栈 𝒳 的情形，允许扭稳定映射带场。
• 证明在模空间的每个分支上，余截面局部化虚拟类与对应扭稳定映射到 Z 的模空间分支的虚拟基本类在符号意义下一致。

提出的方法

• 构造一个到 X 的稳定映射模空间，并引入额外的“场”——一种编码向量丛 E 的截面 s 信息的技术。
• 利用由正则截面 s 导出的障碍层的余截面，定义一个局部化的虚拟基本类。
• 应用余截面局部化技术，将带场模空间上的虚拟类与零点集 Z = s⁻¹(0) 上的虚拟基本类关联起来。
• 通过考虑扭稳定映射及由惰性层分支组成的 n 元组，将构造推广至 Deligne–Mumford 堆栈。
• 利用惰性层的结构，将模空间分解为虚拟维数恒定的分支。
• 证明在每个此类分支上，余截面局部化虚拟类与对应扭稳定映射到 Z 的模空间分支的虚拟基本类在符号意义下一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过辅助场构造一个关于具有正则截面 s 的向量丛 E 的代数簇 X 上的稳定映射模空间的虚拟基本类？
• RQ2 带场模空间上的余截面局部化虚拟类与稳定映射到零点集 Z = s⁻¹(0) 的模空间上的虚拟基本类之间有何关系？
• RQ3 量子 Lefschetz 超平面原理能否推广至带场的稳定映射情形，特别是当 E 为凸向量丛时？
• RQ4 该构造如何扩展至具有射影粗模空间的光滑 Deligne–Mumford 堆栈 𝒳 及其向量丛 ɛ 的截面 s 的情形？
• RQ5 扭稳定映射带场的模空间的分支与对应扭稳定映射到 Z 的模空间的分支之间存在何种关系？

主要发现

• 带场的稳定映射模空间上的余截面局部化虚拟类与稳定映射到零点集 Z = s⁻¹(0) 的模空间上的虚拟基本类在符号意义下一致。
• 该构造将量子 Lefschetz 超平面原理推广至带场的稳定映射情形，特别是在向量丛 E 为凸时。
• 对于具有射影粗模空间的光滑 Deligne–Mumford 堆栈 𝒳，扭稳定映射带场的模空间具有由 𝒳 的惰性层分支的 n 元组索引的虚拟维数恒定的分支。
• 在每个此类分支上，余截面局部化虚拟类与对应扭稳定映射到 Z = s⁻¹(0) 的模空间分支的虚拟基本类在符号意义下一致。
• 该方法为 Gromov–Witten 理论中虚拟类的比较提供了一种新方法，不同于 Chen–Janda–Webb 的框架。
• 该结果扩展并统一了 Chang–Li、Kim–Oh 与 Chang–Li 在场与堆栈几何背景下的先前比较定理。