[论文解读] Moduli Spaces of Abelian Vortices on Kahler Manifolds

Jorge Baptista|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 26被引用 4

一句话总结

本文在紧致凯勒流形上建立了阿贝尔规范线性sigma模型（GLSM）的希钦-科巴亚希对应关系，明确描述了当基流形单连通或为阿贝尔簇时，vortex解模空间作为轨形的toric结构。计算了模空间上$L^2$-度量的凯勒类、体积和总标量曲率，并将其识别为到toric目标的全纯映射的紧化，由此提出关于映射空间体积的猜想，如$\mathbb{CP}^m \to \mathbb{CP}^n$。结果将已知的二维vortex模空间推广至高维，提供了明确的几何与拓扑描述。

ABSTRACT

We consider the self-dual vortex equations on a positive line bundle L --> M over a compact Kaehler manifold of arbitrary dimension. When M is simply connected, the moduli space of vortex solutions is a projective space. When M is an abelian variety, the moduli space is the projectivization of the Fourier-Mukai transform of L. We extend this description of the moduli space to the abelian GLSM, i.e. to vortex equations with a torus gauge group acting linearly on a complex vector space. After establishing the Hitchin-Kobayashi correspondence appropriate for the general abelian GLSM, we give explicit descriptions of the vortex moduli space in the case where the manifold M is simply connected or is an abelian variety. In these examples we compute the Kaehler class of the natural L^2-metric on the moduli space. In the simplest cases we compute the volume and total scalar curvature of the muduli space. Finally, we note that for abelian GLSM the vortex moduli space is a compactification of the space of holomorphic maps from M to toric targets, just as in the usual case of M being a Riemann surface. This leads to various natural conjectures, for instance explicit formulae for the volume of the space of maps CP^m --> CP^n.

研究动机与目标

• 将希钦-科巴亚希对应关系推广至高维凯勒流形上的阿贝尔GLSM。
• 在基流形为单连通或阿贝尔簇时，提供vortex解模空间的显式几何描述。
• 计算模空间上$L^2$-度量的凯勒类、体积和总标量曲率。
• 将模空间识别为到toric流形的全息映射空间的紧化，推广二维情形。
• 提出关于全纯映射空间体积的猜想，例如$\mathbb{CP}^m \to \mathbb{CP}^n$。

提出的方法

• 使用稳定性条件与矩映射技术，建立阿贝尔GLSM的广义希钦-科巴亚希对应关系。
• 利用傅里叶-穆凯伊变换，将模空间描述为对偶阿贝尔簇上对偶线丛的射影化。
• 应用$L^2$-度量形式化，通过曲率与陈类积分计算模空间凯勒类。
• 运用toric几何与锥分解分析模空间作为toric轨形的结构。
• 利用全纯丛与全纯截面理论，将vortex解与到toric目标的全纯映射联系起来。
• 借助关于锥几何与系数正性之辅助引理，确保模空间构造中的稳定性与内部性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在任意维数的单连通凯勒流形上，阿贝尔vortex模空间的显式几何结构为何？
• RQ2 在阿贝尔簇上，阿贝尔GLSM vortices的模空间与原始线丛的傅里叶-穆凯伊变换有何关系？
• RQ3 在单连通流形与阿贝尔簇情形下，模空间上$L^2$-度量的凯勒类为何？
• RQ4 模空间如何被解释为到toric流形的全纯映射空间的紧化？
• RQ5 能否为全纯映射空间$\mathbb{CP}^m \to \mathbb{CP}^n$的体积提出显式公式？

主要发现

• 当$M$为单连通时，vortex解模空间$\mathcal{M}$为复射影空间。
• 当$M$为阿贝尔簇时，$\mathcal{M}$为对偶阿贝尔簇上傅里叶-穆凯伊变换$\hat{L} \to \hat{M}$的射影化。
• $L^2$-度量在$\mathcal{M}$上的凯勒类通过曲率形式与陈类积分显式计算得出。
• 在最简情形下，利用$L^2$-度量结构计算了$\mathcal{M}$的体积与总标量曲率。
• $\mathcal{M}$紧化了从$M$到toric目标的全纯映射空间，推广了二维情形。
• 本文基于$L^2$-度量几何，对全纯映射空间（如$\mathbb{CP}^m \to \mathbb{CP}^n$）的体积提出猜想。