[论文解读] Moduli spaces of curves with linear series and the slope conjecture

Deepak Khosla|ArXiv.org|Aug 1, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用 21

一句话总结

本文通过研究线性系列的模空间 $\mathcal{G}^r_d$ 并计算其到 $\widetilde{\mathcal{M}}_g$ 的自然映射下除子类的推出，构造了一个新的反例来反驳 Harris-Morrison 斜率猜想。结果表明，当 $g=21$，$r=6$，$d=24$ 时，位于二次曲面上的曲线的闭包构成一个斜率为 7 的除子，该值小于猜想的 $6 + \frac{12}{22} \approx 6.545$，因此违反了斜率猜想。当 Brill-Noether 数为零时，该构造可推广为无穷多个潜在反例。

ABSTRACT

We describe the moduli space G^r_d of triples consisting of a curve C, a line bundle L on C of degree d, and a linear system V on L of dimension r. This moduli space extends over a partial compactification { ilde M_g} of M_g inside {\bar M_g}. For the proper map h : G^r_d --> ilde M_g, we compute the push-forward on Chow 1-cocyles in the case where h has relative dimension zero. As a consequence we obtain another counterexample to the Harris-Morrison slope conjecture as well as an infinite sequence of potential counterexamples.

研究动机与目标

• 通过研究来自具有线性系列的曲线的有效除子，调查 $\mathcal{M}_g$ 的双有理几何。
• 计算模空间 $\mathcal{G}^r_d$ 上除子类在到 $\widetilde{\mathcal{M}}_g$ 的映射下的推出。
• 通过构造具有小斜率的新除子类来检验 Harris-Morrison 斜率猜想。
• 当 Brill-Noether 数 $\rho = 0$ 时，将该构造推广为无穷多个潜在反例。

提出的方法

• 定义模空间 $\mathcal{G}^r_d$，其参数化三元组 $(C, L, V)$，其中 $C$ 为曲线，$L$ 为次数为 $d$ 的线丛，$V \subset H^0(L)$ 为维数为 $r+1$ 的线性系统。
• 将 $\mathcal{G}^r_d$ 扩展到部分紧化空间 $\widetilde{\mathcal{M}}_g \subset \overline{\mathcal{M}}_g$，以包含稳定曲线。
• 研究 $\widetilde{D} \subset \mathcal{G}^r_d$ 的闭包，其中 $\operatorname{Sym}^k V \to H^0(L^k)$ 有非平凡核，对应于位于 $k$ 次曲面的曲线。
• 利用相对维数为零的假设，通过 $\mathcal{G}^r_d$ 上的交比理论计算推出 $\eta_*[\widetilde{D}]$。
• 将主要结果应用于 $g=21$，$r=6$，$d=24$，$k=2$ 的情形，此时 $\rho = 0$，并计算除子 $D^{6,2}_{24,21}$ 的类。
• 通过在 $\mathbb{P}^2$ 的 21 个一般点处的爆破上验证某个线性系统中存在光滑曲线，以确认该除子是有效且除子性的。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathfrak{g}^6_{24}$ 嵌入下，位于二次曲面上的曲线的闭包是否在 $\mathcal{M}_{21}$ 中构成一个除子？
• RQ2 该除子在 $\operatorname{Pic}(\mathcal{M}_{21}) \otimes \mathbb{Q}$ 中的类是什么？
• RQ3 该除子的斜率是否小于 Harris-Morrison 猜想的边界值 $6 + \frac{12}{22}$？
• RQ4 该构造能否推广为 $\rho = 0$ 且 $k=2$ 的无穷多个曲线族？
• RQ5 这些闭包是否总是除子性闭包，且是否都构成对斜率猜想的反例？

主要发现

• 除子 $D^{6,2}_{24,21}$ 是除子性闭包，其斜率为 7，小于 Harris-Morrison 猜想的边界值 $6 + \frac{12}{22} \approx 6.545$，因此提供了一个新的反例。
• 通过主定理显式计算了 $\mathcal{G}^6_{24}$ 上除子类在到 $\mathcal{M}_{21}$ 的推出，得到一个与 $7\lambda - \delta_0 - 5\delta_1 - \cdots$ 成比例的类。
• 对于无穷族 $(g,r,d) = (m(2m+1), 2m, 2m(m+1))$，Brill-Noether 数 $\rho = 0$，且位于二次曲面上的条件为一个条件。
• 如果对所有 $m$，对应的 $D^{r,k}_{d,g}$ 闭包都是除子性闭包，则它们都将构成对 Harris-Morrison 斜率猜想的反例。
• 在 $\mathbb{P}^2$ 的 21 个一般点处的爆破上，线性系统 $|13H - 2\sum_{j=1}^9 E_j - 3\sum_{k=10}^{21} E_k|$ 中存在光滑连通曲线，确认了所需曲线的存在性。
• 模空间 $\mathcal{G}^6_{24}$ 是不可约的，支持了该构造的几何一致性。