[论文解读] Moduli Spaces of Higher Spin Curves and Integrable Hierarchies

Tyler J. Jarvis, Takashi Kimura+1 more|arXiv (Cornell University)|May 5, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用 21

一句话总结

本文通过证明 $r$-自旋曲线模空间上的交点数生成函数满足 $\mathrm{KdV}_r$ 层次的半经典极限，从而证明了广义 Witten 猜想的亏格零部分。该研究通过一个虚类构造了一个秩为 $r-1$ 的上同调场论，其对应的 Frobenius 流形同构于 $A_{r-1}$ 奇点的通用形变基底。

ABSTRACT

We prove the genus zero part of the generalized Witten conjecture relating moduli spaces of spin curves to Gelfand-Dickey hierarchies. That is, we show that intersection numbers on the moduli space of stable r-spin curves assemble into a generating function which yields a solution of the semiclassical limit of the KdV_r equations. We formulate axioms for a cohomology class on this moduli space which allow one to construct a cohomological field theory of rank $r-1$ in all genera. In genus zero it produces a Frobenius manifold which is isomorphic to the Frobenius manifold structure on the base of the versal deformation of the A_{r-1} singularity. We prove analogs of the puncture, dilaton, and topological recursion relations by drawing an analogy with the construction of Gromov-Witten invariants and quantum cohomology.

研究动机与目标

• 制定并证明广义 Witten 猜想的亏格零部分，该猜想将高阶自旋曲线与 $\mathrm{KdV}_r$ 可积层次联系起来。
• 在 $r$-自旋曲线模空间上定义一个虚上同调类，使其满足秩为 $r-1$ 的上同调场论（CohFT）公理。
• 建立 $r$-自旋曲线状态空间上的 Frobenius 流形结构，并证明其同构于 $A_{r-1}$ 奇点的通用形变基底的 Frobenius 流形。
• 通过类比 Gromov-Witten 理论，验证 $r$-自旋 CohFT 的穿孔、稀释和拓扑递归关系。

提出的方法

• 在 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^{1/r}$ 上定义一个虚类 $c^{1/r}$，作为亏格零时一个典范丛的上 Chern 类，满足 CohFT 公理。
• 从 $\overline{\mathcal{M}}_{0,n}^{1/r}$ 上对 $c^{1/r}$ 的积分构造大相空间势函数 $\Phi_{0}(\mathbf{t})$，使用 $\psi$-类和 $\mu$-类。
• 证明 $\Phi_{0}(\mathbf{t})$ 满足字符串方程和 WDVV 方程，从而确保解的唯一性。
• 通过唯一性定理证明势函数 $\Phi_{0}(\mathbf{t})$ 与 $\mathrm{KdV}_r$ 层次的半经典极限一致。
• 利用 Frobenius 流形的同构关系，将 $r$-自旋 CohFT 与 $A_{r-1}$ 奇点的通用形变空间联系起来。
• 通过验证 $r=2$ 的情形，证明势函数退化为 Kontsevich 的 $\tau$-函数，从而确认原始 Witten 猜想在亏格零时成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^{1/r}$ 上，交点数的生成函数是否构成 $\mathrm{KdV}_r$ 层次半经典极限的解？
• RQ2 能否通过一个虚类在 $r$-自旋曲线模空间上构造一个秩为 $r-1$ 的上同调场论？
• RQ3 $r$-自旋曲线状态空间上的 Frobenius 流形结构是否同构于 $A_{r-1}$ 奇点通用形变的 Frobenius 流形？
• RQ4 $r$-自旋 CohFT 是否满足与 Gromov-Witten 理论类似的穿孔、稀释和拓扑递归关系？

主要发现

• $r$-自旋 CohFT 的亏格零势函数 $\Phi_{0}(\mathbf{t})$ 满足字符串方程和 WDVV 方程，从而确保其解的唯一性。
• 当 $r=2$ 时，$r$-自旋 CohFT 的势函数与 Kontsevich 的 $\tau$-函数一致，从而在亏格零时确认了原始 Witten 猜想。
• 对于 $g=0$ 且任意 $r$，势函数 $\Phi_{0}(\mathbf{t})$ 与 $\mathrm{KdV}_r$ 层次的半经典极限一致，从而证明了亏格零广义 Witten 猜想。
• $r$-自旋 CohFT 关联的 Frobenius 流形同构于 $A_{r-1}$ 奇点通用形变基底的 Frobenius 流形。
• 虚类 $c^{1/r}$ 被实现为 $\overline{\mathcal{M}}_{0,n}^{1/r}$ 上一个典范丛的上 Chern 类，满足所有必需的 CohFT 公理。
• $r$-自旋 CohFT 的势函数不依赖于变量 $t_n^{r-1}$，与虚类的消失公理由一致。