[论文解读] Moduli spaces of hyperkaehler manifolds and mirror symmetry

Daniel Huybrechts|ArXiv.org|Oct 15, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 28被引用 15

一句话总结

本文通过分析复结构与凯勒结构模空间在周期域和离散群作用下的性质，为超凯勒流形中的镜面对称性，特别是K3曲面，建立了一个几何框架。结果表明，镜面对称源于对Mukai格的离散群作用，通过超凯勒旋转和大复结构极限，统一了各种镜像对偶性，包括格点极化的K3曲面和椭圆纤维化K3曲面。

ABSTRACT

These are notes of my lectures given at the school on intersection theory and moduli at the ICTP, Trieste. We construct moduli spaces of K3 surfaces and higherdimensional hyperkaehler manifolds, including moduli spaces of (2,2)-conformal field theories associated to hyperkaehler manifolds, and describe their period domains. Recent results on these manifolds are discussed from the moduli space point of view. The second goal is to present a detailed account of mirror symmetry for K3 surfaces. Arguments due to Aspinwall and Morrison allow one to explain various versions of mirror symmetry (e.g. for lattice polarized or elliptic K3 surfaces) by the same general principle.

研究动机与目标

• 通过周期域和几何不变量，阐明超凯勒流形模空间（特别是K3曲面）的结构。
• 通过B场和Mukai格结构，数学化地解释共形场论（CFT）模空间。
• 在单一群论框架下，统一K3曲面的各种镜面对称版本（例如格点极化、椭圆纤维化等）。
• 解释镜映射如何从离散群作用和超凯勒旋转中产生，特别是在大复结构极限下。
• 证明：当K3曲面的凯勒形式位于特定上同调类时，其镜像曲面具有纤维收缩的特殊拉格朗日子流形纤维化。

提出的方法

• 使用从标记超凯勒流形模空间到Mukai格中周期域的周期映射。
• 应用全局Torelli定理，通过全纯辛形式将复结构与上同调数据联系起来。
• 分析Mukai格上的离散群作用，特别是由反射和超凯勒旋转生成的群的作用。
• 通过群在周期域上的作用构造镜映射，将镜像对识别为该作用下的轨道。
• 利用超凯勒旋转，通过旋转与给定凯勒形式相容的复结构，实现镜像复结构。
• 应用大复结构极限技术，表明镜像中特殊拉格朗日子流形纤维的体积趋于零。

实验结果

研究问题

• RQ1 在离散群作用下，超凯勒流形（特别是K3曲面）的模空间如何分解？
• RQ2 在周期域的术语下，K3曲面镜面对称的精确几何与上同调机制是什么？
• RQ3 镜映射如何与超凯勒旋转及特殊拉格朗日子流形纤维化的几何相关联？
• RQ4 Mukai格上的离散群作用以何种方式统一了K3曲面的不同镜面对称类型？
• RQ5 当复结构趋近于大复结构极限时，镜像中特殊拉格朗日子流形纤维的体积会发生什么变化？

主要发现

• 由于存在与复结构相容的S²族，K3曲面的超凯勒度量模空间不像卡拉比-丘流形那样分解为复结构与凯勒模空间。
• K3曲面的镜面对称性被实现为度量模空间之间的同构，通过Mukai格上的离散群作用交换复结构与凯勒结构。
• 对于位于给定上同调类中的凯勒形式的K3曲面，其镜像曲面具有纤维类为$v$的特殊拉格朗日子流形纤维化，且当$t \to 0$时其体积趋于零。
• 在镜像中，上同调条件$\langle \text{Re}(\sigma), v \rangle \to 0$意味着在大复结构极限下，SLAG纤维$v$的体积趋于零。
• 超凯勒旋转可实现给定凯勒形式的镜像复结构，但该构造与大复结构极限不交换，表明超凯勒旋转与镜面对称之间存在有限关系。
• 具有椭圆纤维化和凯勒形式$\omega_J = (\alpha/2 + 1)f + \sigma_0$的K3曲面的镜像为$X^\vee = (M, -K)$，且仅当凯勒形式适当缩放时，镜像纤维化才具有收缩的纤维，而非在复结构固定时。