[论文解读] Modulo $p$ parabolic induction of pro-$p$-Iwahori Hecke algebra

Noriyuki Abe|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文通过抛物诱导分类了在特征 $p$ 的代数闭域上，pro-$p$-Iwahori Hecke 代数的不可约模 $p$ 表示，建立了此类表示的同构类与三元组 $(P, \sigma, Q)$ 之间的双射，其中 $\sigma$ 是 Levi 子群的上奇异表示。该分类完成了 Ollivier 和 Vignéras 启动的程序，表明通过一种新颖的诱导模构造，不可约表示由上奇异数据参数化。

ABSTRACT

We study the structure of parabolic inductions of a pro-$p$-Iwahori Hecke algebra. In particular, we give a classification of irreducible modulo $p$ representations of pro-$p$-Iwahori Hecke algebra in terms of supersingular representations. Since supersingular representations are classified by Ollivier and Vigneras, it completes the classification of irreducible modulo $p$ representations.

研究动机与目标

• 对特征为 $p$ 的代数闭域上的 pro-$p$-Iwahori Hecke 代数 $\mathcal{H}$ 的不可约模 $p$ 表示进行分类。
• 将 $G$ 的不可约光滑模 $p$ 表示的分类推广至 Hecke 代数设定。
• 建立不可约 $\mathcal{H}$-模的同构类与三元组 $(P, \sigma, Q)$ 之间的双射，其中 $\sigma$ 是上奇异表示，且 $P \subset Q \subset P(\sigma)$。
• 证明通过抛物诱导构造的不可约表示与此类三元组一一对应，从而完成分类。

提出的方法

• 对 Levi 子群 $M$ 的 pro-$p$-Iwahori Hecke 代数 $\mathcal{H}_M$ 的表示 $\sigma$，定义抛物诱导 $I_P(\sigma)$。
• 引入集合 $\Pi(\sigma)$，即满足对所有 $\lambda \in Z'_\alpha$，$T^M_\lambda$ 在 $\sigma$ 上平凡作用的简单根 $\alpha$ 的集合，并将对应的抛物子群记为 $P(\sigma)$。
• 将 $\mathcal{H}$-模 $I(P, \sigma, Q)$ 构造为抛物诱导 $I_Q(e(\sigma))$ 的商模，其中 $e(\sigma)$ 是 $\sigma$ 到 $\mathcal{H}_{M(\sigma)}$ 的延拓，模去对应于更大抛物子群的子模。
• 利用 $\mathcal{H}$ 的 Iwahori-Matsumoto 基与 Bernstein 基分析诱导模的结构及其 $\mathcal{A}$-子模。
• 运用 $\mathcal{A}$-模的支持理论识别不可约分量，并证明映射 $(P, \sigma, Q) \mapsto I(P, \sigma, Q)$ 是单射。
• 通过分析 $\mathcal{A}$-支撑并利用上奇异表示的分类，证明每个不可约 $\mathcal{H}$-模均可通过这种方式构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何基于上奇异表示对 pro-$p$-Iwahori Hecke 代数的不可约模 $p$ 表示进行分类？
• RQ2 pro-$p$-Iwahori Hecke 代数在模 $p$ 设定下的抛物诱导的精确结构是什么？
• RQ3 是否存在一种通过抛物诱导构造不可约表示的典范方式，以涵盖所有同构类？
• RQ4 在 pro-$p$-Iwahori Hecke 代数的背景下，超临界性与上奇异性的关系是什么？
• RQ5 该分类能否实现 $\mathrm{GL}_n$ 的数值 $p$-模朗兰兹对应？

主要发现

• 映射 $ (P, \sigma, Q) \mapsto I(P, \sigma, Q) $ 给出了不可约 $\mathcal{H}$-模的同构类与三元组 $ (P, \sigma, Q) $ 之间的双射，其中 $\sigma$ 是 $\mathcal{H}_M$ 的上奇异表示，且 $Q$ 取遍满足 $P \subset Q \subset P(\sigma)$ 的抛物子群。
• 每个不可约 $\mathcal{H}$-模均可表示为某个抛物诱导 $I_Q(e(\sigma))$ 的商模，且只要 $Q$ 在相关范围内取最大值，该构造与 $Q$ 的选择无关。
• 不可约 $\mathcal{H}$-模 $I(P, \sigma, Q)$ 同构于 $I(P', \sigma', Q')$ 当且仅当 $P = P'$，$Q = Q'$，且 $\sigma \simeq \sigma'$ 作为 $\mathcal{H}_M$-模。
• 上奇异表示恰好是超临界表示：$\pi = I(P, \sigma, Q)$ 是上奇异表示当且仅当 $P = G$，即抛物子群为整个群。
• 该分类与数值模 $p$ 朗兰兹对应一致，因为上奇异表示的数量与固定行列式的 $n$-维模 $p$ 戈洛伊斯表示数量相符。
• 通过 Bernstein 基与子代数 $\mathcal{A} = \bigoplus_{\lambda \in \Lambda(1)} C E(\lambda)$ 分析了 $\mathcal{H}$ 的结构，该子代数控制不可约 $\mathcal{A}$-子模的支撑，从而实现了分类。