[论文解读] Modulo $p$ representations of reductive $p$-adic groups: functorial properties

Noriyuki Abe, Guy Henniart+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文在特征 $p$ 的 $p$-进李群的模表示理论中，确定了抛物诱导表示的子表示格，证明了在一般非分歧特征标作用下的不可约性，并将抛物诱导的右伴随函子与 Emerton 的平凡部分函子相联系，解决了 $p$-进李群模表示理论中的关键函子性质。

ABSTRACT

Let $F$ be a local field with residue characteristic $p$, let $C$ be an algebraically closed field of characteristic $p$, and let $\mathbf{G}$ be a connected reductive $F$-group. In a previous paper, Florian Herzig and the authors classified irreducible admissible $C$-representations of $G=\mathbf{G}(F)$ in terms of supercuspidal representations of Levi subgroups of $G$. Here, for a parabolic subgroup $P$ of $G$ with Levi subgroup $M$ and an irreducible admissible $C$-representation $τ$ of $M$, we determine the lattice of subrepresentations of $\mathrm{Ind}_P^G τ$ and we show that $\mathrm{Ind}_P^G χτ$ is irreducible for a general unramified character $χ$ of $M$. In the reverse direction, we compute the image by the two adjoints of $\mathrm{Ind}_P^G$ of an irreducible admissible representation $π$ of $G$. On the way, we prove that the right adjoint of $\mathrm{Ind}_P^G $ respects admissibility, hence coincides with Emerton's ordinary part functor $\mathrm{Ord}_{\overline{P}}^G$ on admissible representations.

研究动机与目标

• 确定在代数闭域 $C$ 上特征为 $p$ 的重李群 $G$ 的极大紧子群 $M$ 上的不可约光滑 $C$-表示 $\tau$ 的抛物诱导表示 $\operatorname{Ind}_P^G \tau$ 的子表示格。
• 证明当 $M$ 的一般非分歧特征标 $\chi$ 作用时，$\operatorname{Ind}_P^G \chi\tau$ 是不可约的。
• 计算不可约光滑表示在抛物诱导函子的左、右伴随函子下的像。
• 证明抛物诱导的右伴随函子保持光滑性，并在光滑表示上与 Emerton 的平凡部分函子 $\operatorname{Ord}_{\overline{P}}^G$ 一致。
• 在非极小抛物子群的情形下，解决平凡部分函子在 $\operatorname{Ind}_P^G$ 及其伴随函子背景下的结构问题。

提出的方法

• 利用 $I_G(P,\sigma,Q)$ 的分类方法，其中 $\sigma$ 是在李群 $M$ 的极大紧子群上的超临界表示，对 $G = \mathbf{G}(F)$ 的不可约光滑 $C$-表示进行分类。
• 应用 Hecke 代数理论与紧致诱导方法，分析诱导表示的子表示格。
• 使用平凡部分函子 $\operatorname{Ord}_{\overline{P}}^G$，并证明其与抛物诱导的右伴随函子 $R^G_{P_1}$ 兼容。
• 借助平凡部分的传递性及诱导模上的滤子结构，计算 $\operatorname{Ord}_{\overline{P}_1}^G$ 在 $e(\sigma) \otimes X_Q^G$ 上的作用。
• 通过极小抛物子群 $P_{\min}$ 将一般情形约化为 $e$-极小情形，并利用根系论证比较李群分量下的固定向量。
• 利用根子群结构与 $Z(M \cap M_1)$-有限向量，比较同态空间，从而建立平凡部分的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于李群 $M$ 上的不可约光滑 $C$-表示 $\tau$，$\operatorname{Ind}_P^G \tau$ 的子表示格是什么？
• RQ2 当 $\chi$ 是 $M$ 的一般非分歧特征标时，$\operatorname{Ind}_P^G \chi\tau$ 是否不可约？
• RQ3 不可约光滑表示 $\pi$ 在抛物诱导函子 $\operatorname{Ind}_{P_1}^G$ 的左、右伴随函子下的像是什么？
• RQ4 抛物诱导的右伴随函子 $R^G_{P_1}$ 是否保持光滑性，并与 Emerton 的平凡部分函子 $\operatorname{Ord}_{\overline{P}_1}^G$ 一致？
• RQ5 平凡部分函子 $\operatorname{Ord}_{\overline{P}_1}^G$ 在 $e(\sigma) \otimes X_Q^G$ 上的作用如何，其中 $X_Q^G = \mathrm{St}_Q^{P(\sigma)}$ 或 $\mathrm{Ind}_Q^{P(\sigma)}1$？

主要发现

• 对于李群 $M$ 上的不可约光滑表示 $\tau$，$\operatorname{Ind}_P^G \tau$ 的子表示格被完全确定，子表示与介于 $P$ 和 $P(\sigma)$ 之间的中间抛物子群一一对应。
• $\operatorname{Ind}_P^G \chi\tau$ 在 $M$ 的一般非分歧特征标 $\chi$ 作用下是不可约的，解决了 Jean-François Dat 提出的问题。
• 抛物诱导的左伴随函子 $L^G_{P_1}$ 满足：若 $P_1 \supset P$ 且 $\langle P_1, Q \rangle$ 生成 $P(\sigma)$，则 $L^G_{P_1} I_G(P,\sigma,Q) \cong I_{M_1}(P \cap M_1, \sigma, Q \cap M_1)$；否则为零。
• 抛物诱导的右伴随函子 $R^G_{P_1}$ 满足：若 $P_1 \supset Q$，则 $R^G_{P_1} I_G(P,\sigma,Q) \cong I_{M_1}(P \cap M_1, \sigma, Q \cap M_1)$；否则为零。
• 右伴随函子 $R^G_{P_1}$ 保持光滑性，并在光滑表示上与 Emerton 的平凡部分函子 $\operatorname{Ord}_{\overline{P}_1}^G$ 一致。
• 平凡部分 $\operatorname{Ord}_{\overline{P}_1}^G(e(\sigma) \otimes X_Q^G)$ 同构于 $e_{M_1}(\operatorname{Ord}^M_{M \cap \overline{P}_1} \sigma) \otimes X_{Q \cap M_1}^{M_1}$，当 $\langle P_1, P \rangle \supset Q$ 时成立，否则为零。