[论文解读] Modulus of supporting convexity and supporting smoothness

Grigory Ivanov|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2015

Advanced Banach Space Theory参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文引入了支撑强凸性模与支撑光滑性模，以量化巴拿赫空间单位球面相对于任意支撑超平面的偏离程度。证明了支撑强凸性模在零点处等价于经典的强凸性模，支撑光滑性模在零点处等价于光滑性模与巴纳什模，从而为这些新模建立了类似Day–Nordlander的结果。

ABSTRACT

We introduce the moduli of the supporting convexity and the supporting smoothness of a Banach space, which characterize the deviation of the unit sphere from an arbitrary supporting hyperplane. We show that the modulus of supporting smoothness, the Bana{ś} modulus, and the modulus of smoothness are all equivalent at zero, the modulus of supporting convexity is equivalent at zero to the modulus of convexity. We prove a Day--Nordlander type result for these moduli.

研究动机与目标

• 定义并分析新的几何模——支撑强凸性与支撑光滑性，以表征巴拿赫空间中单位球面相对于任意支撑超平面的偏离特性。
• 建立支撑强凸性模在零点处与经典强凸性模的等价性，以及支撑光滑性模在零点处与光滑性模及巴纳什模的等价性。
• 为新模证明类似Day–Nordlander的估计，将其与到超平面的度量投影的利普希茨常数联系起来。
• 利用强凸性模的反函数，对支撑光滑性模提供精确估计，尤其在希尔伯特空间中。

提出的方法

• 基于单位球面相对于边界点处支撑超平面的几何关系，定义支撑强凸性模与支撑光滑性模。
• 利用Birkhoff-James正交性与拟正交性分析向量构型，并推导涉及范数与支撑泛函的不等式。
• 以标准的强凸性模 $\delta_X(\varepsilon)$ 与光滑性模 $\rho_X(\tau)$ 作为等价性比较的参考基准。
• 通过相交弦与中心对称的几何论证，推导支撑光滑性模的下界。
• 利用反函数 $\delta_X^{-1}$ 将支撑光滑性模与强凸性模关联，尤其在希尔伯特空间情形下。
• 通过在 $t \to 0$ 时使用渐近比较 $f(t) \asymp g(t)$（由函数比值在零附近有正数界定义）证明在零点处的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在巴拿赫空间中量化单位球面相对于任意支撑超平面的偏离？
• RQ2 新定义的支撑强凸性与光滑性模在零点处是否与经典的强凸性与光滑性模等价？
• RQ3 能否为支撑光滑性模建立类似Day-Nordlander的不等式，以度量投影的利普希茨常数表示？
• RQ4 支撑光滑性模的精确估计如何用强凸性模的反函数表示？
• RQ5 在 $L_p$ 空间中，$p \in (1, \infty)$ 时，支撑光滑性模上界等号是否成立？

主要发现

• 支撑强凸性模在零点处与经典强凸性模 $\delta_X(\varepsilon)$ 等价，即当 $\varepsilon \to 0$ 时 $\text{supp}_X(\varepsilon) \asymp \delta_X(\varepsilon)$。
• 支撑光滑性模 $\lambda_X^+(r)$ 满足不等式 $1 - \frac{1}{2}\delta_X^{-1}(1 - \frac{r}{2}) \leq \lambda_X^+(r)$，且在希尔伯特空间中趋近于等号。
• 支撑光滑性模在零点处与光滑性模 $\rho_X(\tau)$ 及巴纳什模等价，即当 $r \to 0$ 时 $\lambda_X^+(r) \asymp \rho_X(r) \asymp \text{Ban}_X(r)$。
• 证明了类似Day-Nordlander的估计：$\lambda_X^+(r) \geq \lambda_X^-(r) \geq \lambda_X^-(1) \cdot \delta_X^{-1}(1 - \frac{r}{\xi_X})$，其中 $\xi_X$ 为支撑泛函的范数。
• 在希尔伯特空间中，上界 $\lambda_X^+(r) \leq \delta_X(2r)$ 可达，证实了估计的精确性。
• 提出一个猜想：在 $L_p$ 空间中，$p \in (1, \infty)$ 时，估计 $\lambda_X^+(r) \leq \lambda_X^-(1) \cdot \delta_X^{-1}(1 - \frac{r}{\xi_X})$ 的上界变为等式。