[论文解读] Moebius structures and Ptolemy spaces: boundary at infinity of complex hyperbolic spaces

Sergei Buyalo, Viktor Schroeder|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用 10

一句话总结

本文通过证明具有圆和大量空间反演的紧致Ptolemy空间在纤维同胚于ℝ时，其在无穷远处的边界与∂∞ℂℍᵏ Möbius等价，建立了复双曲空间在无穷远处边界的Möbius特征刻画。关键结果通过Heisenberg群结构与Korányi度量，识别出∂∞ℂℍᵏ上的标准Möbius结构。

ABSTRACT

The paper initiates a systematic study of Moebius structures and Ptolemy spaces. We conjecture that every compact Ptolemy space with circles and many space inversions is Moebius equivalent to the boundary at infinity of a rank one symmetric space of noncompact type. We prove this conjecture for the class of complex hyperbolic spaces as our main result.

研究动机与目标

• 为非紧类型的一级对称空间在无穷远处的边界提供Möbius特征刻画。
• 在特定几何条件下，证明具有圆和空间反演的紧致Ptolemy空间与∂∞ℂℍᵏ Möbius等价。
• 建立在X\{ω}上纤维同胚于ℝ的纤维丛诱导出底空间上的标准复结构。
• 证明∂∞ℂℍᵏ上的Möbius结构源自Heisenberg群上的Korányi度量。
• 证明提升常数c=2唯一确定了此类空间的Möbius类。

提出的方法

• 引入Möbius结构与Ptolemy空间作为在Möbius等价下封闭的度量类，强调其缺乏标准度量。
• 定义关于点对与度量球面的空间反演，利用其生成Möbius自同构。
• 构造纤维丛πω: X\{ω} → Bω，其纤维同胚于ℝᵖ，证明其在空间反演下不变。
• 利用典范分布与Busemann函数在X\{ω}上定义幂零群结构，其同构于Heisenberg群ℍᵏ。
• 通过函数ξu与复共轭在底空间Bω上建立复结构，将Bω识别为ℂᵏ⁻¹。
• 通过乘法法则g·g′ = (z+z′, h+h′ − ½ Im(z,z′))，证明X\{ω}上的幂零群结构与Heisenberg群ℍᵏ同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有圆和空间反演的紧致Ptolemy空间是否可能与复双曲空间的无穷远处边界Möbius等价？
• RQ2 在Ptolemy空间类中，哪些几何不变量刻画了ℂℍᵏ在无穷远处边界的特征？
• RQ3 具有ℝ-纤维的纤维丛与空间反演的存在如何约束其底层几何与拓扑？
• RQ4 提升常数c在分类此类Ptolemy空间上的Möbius结构中起什么作用？
• RQ5 ∂∞ℂℍᵏ上的标准Möbius结构是否由Heisenberg群上的Korányi度量唯一确定？

主要发现

• 每个满足性质(E)与(I)的紧致Ptolemy空间同胚于某个n ≥ 1的球面Sⁿ。
• 对每个ω ∈ X，存在纤维同胚于ℝᵖ的纤维丛πω: X\{ω} → Bω，其中p为Möbius不变量。
• 当p = 1时，空间X与∂∞ℂℍᵏ Möbius等价，此时n = 2k−1且k ≥ 2。
• 底空间Bω配备有标准复结构，使其微分同胚于ℂᵏ⁻¹。
• X\{ω}上的等距群同构于高维Heisenberg群ℍᵏ，其乘法法则为g·g′ = (z+z′, h+h′ − ½ Im(z,z′))。
• X\{ω}上的距离函数由|xx′|⁴ = |z−z′|⁴ + 16|h−h′ − ½ Im(z z′)|²给出，对应于Korányi度量。