[论文解读] Molecules of the Euler problem of two fixed centers and its applications

Seongchan Kim|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文研究了两固定质点问题中负能超曲面的性质，利用椭圆坐标分析周期轨道与同宿轨道。证明了所有低于临界雅可比能量的双重覆盖周期轨道均为环面纽结，并表明同宿轨道在所有质量比和李雅普诺夫轨道能量下均存在，其稳定与不稳定流形重合，且每条轨道恰好绕一个主天体旋转一次。

ABSTRACT

We study the molecules of negative energy hypersurfaces of the Euler problem. As an application, we determine the knot types of periodic orbits: we show that for energies below the critical Jacobi energy, every doubly-covered periodic orbit in the regularized system is a torus knot. Moreover, we prove that in the Euler problem homoclinic orbits exist for all mass ratios and for all energies at which the Lyapunov orbit exists. In particular, the unstable and the stable manifolds of the Lyapunov orbit coincide with each other. Moreover, by means of the elliptic coordinates, we show that every homoclinic orbit rotates around one of the primaries precisely once.

研究动机与目标

• 对正则化后的两固定质点问题中周期轨道的纽结类型进行分类。
• 建立所有质量比和李雅普诺夫轨道能量下同宿轨道的存在性及其几何结构。
• 利用椭圆坐标确定同宿轨道绕主天体的旋转行为。
• 表征两中心问题中负能超曲面的拓扑与动力学性质。

提出的方法

• 在利用椭圆坐标简化动力系统的基础上，对欧拉问题的负能超曲面进行分析。
• 采用正则化技术处理奇点，并分析双重覆盖的周期轨道。
• 通过纽结理论研究轨道在相空间中的嵌入，实现周期轨道的拓扑分类。
• 通过研究李雅普诺夫轨道的稳定与不稳定流形的交集，分析同宿轨道。
• 通过跟踪同宿轨道在椭圆坐标中绕某一主天体的卷绕数，确定其旋转行为。
• 以临界雅可比能量为阈值，区分系统中不同的动力学行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在正则化后的欧拉两中心问题中，当能量低于临界雅可比能量时，双重覆盖周期轨道具有何种纽结类型？
• RQ2 在欧拉两中心问题中，同宿轨道在哪些质量比和能量下存在？
• RQ3 李雅普诺夫轨道的稳定与不稳定流形在何种条件下重合？
• RQ4 每条同宿轨道绕某一主天体旋转多少次？
• RQ5 椭圆坐标在表征同宿轨道全局结构方面起到何种作用？

主要发现

• 在临界雅可比能量以下的正则化系统中，所有双重覆盖周期轨道均为环面纽结。
• 同宿轨道存在于所有质量比下，且在李雅普诺夫轨道存在的所有能量下均存在。
• 李雅普诺夫轨道的稳定与不稳定流形重合，表明存在同宿连接。
• 每条同宿轨道恰好绕一个主天体旋转一次。
• 利用椭圆坐标证实，每条同宿轨道在返回前均绕主天体完成一次完整的旋转。
• 系统的拓扑结构由能量水平、质量比与轨道卷绕数之间的相互作用完全表征。