[论文解读] Mollifier Smoothing of tensor fields on differentiable manifolds and applications to Riemannian Geometry

Ryuichi Fukuoka|ArXiv.org|Aug 9, 2006

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文提出了一种针对微分流形上非光滑张量场（特别是 $L^p_{\text{loc}}$ 和连续黎曼度量）的光滑化技术，利用背景黎曼度量定义局部卷积。关键结果是：当度量为 $C^2$ 时，经光滑化后的度量的 Levi-Civita 联络与黎曼曲率张量在光滑参数 $ε \to 0$ 时收敛于原始度量的对应量，从而实现了经典黎曼几何向非光滑设定的推广，包括分形类结构上的曲率测度。

ABSTRACT

Let M be a differentiable manifold. We say that a tensor field g defined on M is non-regular if g is in some local Lp space or if g is continuous. In this work we define a mollifier smoothing g_t of g that has the following feature: If g is a Riemannian metric of class C2, then the Levi-Civita connection and the Riemannian curvature tensor of g_t converges to the Levi-Civita connection and to the Riemannian curvature tensor of g respectively as t converges to zero. Therefore this mollifier smoothing is a good starting point in order to generalize objects of the classical Riemannian geometry to non-regular Riemannian manifolds. Finally we give some applications of this mollifier smoothing. In particular, we generalize the concept of Lipschitz-Killing curvature measure for some non-regular Riemannian manifolds.

研究动机与目标

• 开发一种基于 mollification 的方法，用于在微分流形上逼近非光滑黎曼度量（定义为 $L^p_{\text{loc}}$ 或连续张量场）。
• 建立一个框架，通过逼近方式将经典黎曼几何对象（如 Levi-Civita 联络、曲率张量）推广至非光滑度量。
• 通过光滑几何不变量的收敛性，实现对非光滑流形（如具有分形类奇点的流形）上曲率测度的定义。
• 通过显式构造 $C^1$ 曲面，其曲率集中在非整数 Hausdorff 维数的集合上，展示该方法的适用性。

提出的方法

• 利用固定的 $C^\infty$ 背景黎曼度量 $\widetilde{g}$ 定义局部坐标和卷积运算，对流形 $M$ 上的张量场 $\widehat{T}$ 进行 mollifier 光滑化。
• 构造一个关于 $M$ 的局部有限开覆盖的坐标图的局部单位分解 $\mathcal{P}$，并赋予欧氏背景度量。
• 在每个坐标图中使用标准 mollifier 核进行局部光滑化，然后通过局部单位分解将结果合并，定义全局光滑张量场 $\widehat{T}_\varepsilon$。
• 证明若原始度量 $\widehat{g}$ 为 $C^2$，则光滑化度量 $\widehat{g}_\varepsilon$ 的 Levi-Civita 联络与黎曼曲率张量在 $\varepsilon \to 0$ 时收敛于 $\widehat{g}$ 的对应量。
• 利用收敛性结果，通过光滑逼近流形上几何不变量的极限，定义非光滑黎曼流形上的几何不变量（如曲率测度）。
• 构造显式例子，包括一条 $\mathbb{R}^2$ 中的 $C^1$ 曲线，其曲率集中在康托集上；以及一个 $C^1$ 旋转曲面，其曲率支持在 Hausdorff 维数为 $1 + \ln 2 / \ln 3$ 的集合上。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过光滑化序列的光滑度量的 Levi-Civita 联络与黎曼曲率张量来逼近 $C^2$ 黎曼度量的对应量，且在光滑参数趋于零时实现收敛？
• RQ2 如何将曲率测度推广至经典可微性失效的非光滑黎曼流形？
• RQ3 在具有分形类奇点的 $C^1$ 黎曼流形（如康托集曲线的旋转曲面）上，曲率的几何行为如何？
• RQ4 能否构造一条 $C^1$ 曲线，使其曲率支持在非整数 Hausdorff 维数的集合上？该集合的维数是多少？
• RQ5 高斯曲率的概念在多大程度上可推广至非光滑对象（如凸曲面或多面体极限）？

主要发现

• 对于 $C^2$ 黎曼度量 $\widehat{g}$，基于局部单位分解 $\mathcal{P}$ 的 mollifier 光滑化 $\widehat{g}_\varepsilon$ 生成一系列光滑度量，其 Levi-Civita 联络与黎曼曲率张量在 $\varepsilon \to 0$ 时收敛于 $\widehat{g}$ 的对应量。
• 通过康托型函数 $f_{\mathcal{C}}$ 构造的 $C^1$ 曲线的曲率集中在康托集 $\mathcal{C}$ 上，其曲率维数为 $\ln 2 / \ln 3$。
• 通过此类曲线旋转得到的 $C^1$ 旋转曲面 $S^2_{\mathcal{C}}$ 的曲率集中在 Hausdorff 维数为 $1 + \ln 2 / \ln 3$ 的集合上，展示了非整数维曲率支持。
• 该 $C^1$ 曲面 $S^2_{\mathcal{C}}$ 的总曲率仍为 $4\pi$，与高斯-博内定理一致，尽管曲率奇异且支持在分数维集合上。
• mollifier 光滑化方法为在非光滑黎曼流形上自然且一致地定义几何对象提供了途径，即通过光滑逼近结构的极限。
• 将 $f_{\mathcal{C}}$ 构造为连续、单调递增且几乎处处导数为零的函数，可实现 $C^1$ 曲线的曲率在测度为零但 Hausdorff 维数为满的集合上局部化。