[论文解读] Moment-angle complexes and polyhedral products for convex polytopes

Anton Ayzenberg, Victor Matveevich Buchstaber|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2010

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文通过引入一个单纯复形 $K_P$ 来扩展矩-角复形和多面体积木至非单形凸多面体，该复形编码了任意多面体 $P$ 的组合类型。证明了矩-角空间 $\mathcal{Z}_P$ 同伦等价于矩-角复形 $(D^2, S^1)^{K_P}$，从而为所有凸多面体定义了双分次贝蒂数。其主要贡献是通过多面体单纯复形的概念建立了一类新的组合不等式，该类不等式推广了德恩–索莫维尔与拜尔–比勒关系。

ABSTRACT

Let P be a convex polytope not simple in general. In the focus of this paper lies a simplicial complex K_P which carries complete information about the combinatorial type of P. In the case when P is simple, K_P is the same as dP*, where P* is a polar dual polytope. Using the canonical embedding of a polytope P into nonnegative orthant, we introduce a moment-angle space Z_P for a polytope P. It is known, that in the case when P is simple the space Z_P is homeomorphic to the polyhedral product (D^2,S^1)^{K_P}. When P is not simple, we prove that the space Z_P is homotopically equivalent to the space (D^2,S^1)^{K_P}. This allows to introduce bigraded Betti numbers for any convex polytope. A Stanley-Reisner ring of a polytope P can be defined as a Stanley-Reisner ring of a simplicial complex K_P. All these considerations lead to a natural question: which simplicial complexes arise as K_P for some polytope P? We have proceeded in this direction by introducing a notion of a polytopic simplicial complex. It has the following property: link of each simplex in a polytopic complex is either contractible, or retractible to a subcomplex, homeomorphic to a sphere. The complex K_P is a polytopic simplicial complex for any polytope P. Links of so called face simplices in a polytopic complex are polytopic complexes as well. This fact is sufficient enough to connect face polynomial of a simplicial complex K_P to the face polynomial of a polytope P, giving a series of inequalities on certain combinatorial characteristics of P. Two of these inequalities are equalities for each P and represent Euler-Poincare formula and one of Bayer-Billera relations for flag f-numbers. In the case when P is simple all inequalities turn out to be classical Dehn-Sommerville relations.

研究动机与目标

• 将矩-角复形与多面体积木理论从单形多面体推广至一般凸多面体。
• 定义一个单纯复形 $K_P$，以捕捉任意凸多面体 $P$ 的完整组合结构，即使 $P$ 不是单形的。
• 证明对于任意凸多面体，矩-角空间 $\mathcal{Z}_P$ 同伦等价于 $(D^2, S^1)^{K_P}$。
• 引入多面体单纯复形的概念，并利用其推导出关于多面体面数的新组合不等式。
• 表明 $K_P$ 的双分次贝蒂数比 $f$-向量提供更强的不变量，能够区分非同构的自对偶多面体。

提出的方法

• 利用多面体 $P$ 在 $\mathbb{R}_{\geq 0}^m$ 中的典范嵌入（其中 $m$ 为面数），将矩-角空间 $\mathcal{Z}_P$ 定义为矩-角映射的拉回。
• 将 $K_P$ 定义为 $\partial P$ 沿其面的覆盖的纽曼复形，该定义推广了单形多面体的对偶边界 $\partial P^*$。
• 引入多面体单纯复形的概念，其中单体的链复形要么是可缩的，要么同伦等价于球面。
• 应用霍奇斯特公式，通过子复形 $F_\omega = \bigcup_{i \in \omega} \mathcal{F}_i$ 的约化上同调计算双分次贝蒂数 $\beta^{-i,2j}(K_P)$。
• 利用多面体环与双参数面多项式，推导出关于多面体面数的不等式。
• 利用悬垂同构与贝蒂数的乘法性，计算锥体与多面体积的不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将矩-角复形与多面体积木从单形多面体推广至任意凸多面体？
• RQ2 与凸多面体 $P$ 关联的单纯复形 $K_P$ 具有哪些组合性质？它如何编码 $P$ 的面结构？
• RQ3 在何种条件下，对于非单形 $P$，矩-角空间 $\mathcal{Z}_P$ 同伦等价于 $(D^2, S^1)^{K_P}$？
• RQ4 从 $K_P$ 及其链复形的结构中可推导出哪些新的组合不等式？它们与德恩–索莫维尔或拜尔–比勒等经典关系有何关联？
• RQ5 当 $f$-向量无法区分时，$K_P$ 的双分次贝蒂数能否区分非同构的自对偶多面体？

主要发现

• 对于任意凸多面体 $P$，矩-角空间 $\mathcal{Z}_P$ 同伦等价于矩-角复形 $(D^2, S^1)^{K_P}$，该结果将此前仅对单形多面体成立的结论推广至一般情况。
• 单纯复形 $K_P$ 是一个多面体单纯复形，即其单体的链复形要么可缩，要么同伦等价于球面。
• $K_P$ 的面多项式与 $P$ 的面多项式相关联，从而导出关于 $P$ 的面数的一系列组合不等式。
• 当 $P$ 为单形多面体时，这些不等式退化为经典的德恩–索莫维尔关系；当 $P$ 为旗多面体时，它们包含拜尔–比勒关系。
• 双分次贝蒂数 $\beta^{-i,2j}(K_P)$ 是比 $f$-向量更强的不变量：对于两个非等价的自对偶多面体且具有相同的 $f$-向量 $(7,12,7)$，其贝蒂数不同，其中 $P$ 满足 $\beta^{-2,8}(P)=14$，而 $P^*$ 满足 $\beta^{-2,8}(P^*)=15$。
• 对于锥体 $\operatorname{pyr}Q$，有 $\beta^{-i,2j}(\operatorname{pyr}Q) = \beta^{-i,2(j-1)}(Q)$ 对 $j > 0$ 成立，表明锥体构造在双分次中引起大格的平移。