[论文解读] Moment maps, monodromy and mirror manifolds

Richard Thomas|ArXiv.org|Apr 19, 2001

Geometry and complex manifolds参考文献 19被引用 12

一句话总结

本文提出一个猜想，通过联络映射、单值性及镜像对称性，将卡拉比-丘流形中拉格朗日子流形的哈密顿形变类中特殊拉格朗日子流形的存在性联系起来，采用对graded拉格朗日子流形的稳定性条件。该猜想在2-环面（T²）上得到证明，其中平均曲率流与辛约化证实了在所提议的稳定性条件下特殊拉格朗日子流形的存在性。

ABSTRACT

Via considerations of symplectic reduction, monodromy, mirror symmetry and Chern-Simons functionals, a conjecture is proposed on the existence of special Lagrangians in the hamiltonian deformation class of a given Lagrangian submanifold of a Calabi-Yau manifold. It involves a stability condition for graded Lagrangians, and can be proved for the simple case of $T^2$.

研究动机与目标

• 在卡拉比-丘3-流形的复几何侧与辛几何侧之间，建立全纯丛与拉格朗日子流形之间的镜像对称对应关系。
• 为graded拉格朗日子流形制定一个稳定性条件，以确保其哈密顿形变类中特殊拉格朗日子流形的存在性。
• 通过联络映射结构与辛约化，将希米特-杨-米尔斯联络与特殊拉格朗日子流形圈之间的类比关系加以拓展。
• 探讨Chern-Simons泛函与拉格朗日子流形上的相位条件，如何在镜像对称中对应复几何中的斜率稳定性。
• 证明在某些构型下（特别是T²上），不稳定拉格朗日子流形无法被光滑构造，原因在于连接和中的相位不连续性。

提出的方法

• 利用联络映射理论与辛约化，将特殊拉格朗日子流形的存在性问题重新表述为有限维的稳定性条件。
• 在拉格朗日子流形上应用Chern-Simons泛函，定义为从参考拉格朗日子流形到目标拉格朗日子流形的路径上对(F + ω)²的路径积分，以定义相位与分度。
• 通过全纯体积形式的相位对拉格朗日子流形引入分度，相位差决定稳定性与连接和的可行性。
• 在T²上使用平均曲率流，证明其收敛于直线，从而表明每个哈密顿形变类中均存在特殊拉格朗日子流形。
• 利用Floer上同调与分度连接和，分析两个拉格朗日子流形何时可被光滑连接，其中相位不等式（φ(L₂) > φ(L₁)）决定其有效性。
• 依赖镜像对称作为形式上的动机，无需显式镜像对，以建立复几何（丛、联络）与辛几何（拉格朗日子流形、平坦线丛）之间的类比。

实验结果

研究问题

• RQ1 对graded拉格朗日子流形的稳定性条件是否能确保其哈密顿形变类中特殊拉格朗日子流形的存在性？
• RQ2 拉格朗日子流形之间的相位不等式如何限制光滑分度连接和的可行性？
• RQ3 Chern-Simons泛函在定义拉格朗日子流形的辛几何类比斜率稳定性中起什么作用？
• RQ4 为何不稳定拉格朗日子流形在T²上无法存在？这与单值性及相位不连续性有何关联？
• RQ5 T²上的平均曲率流如何为高维卡拉比-丘流形中该猜想的存在性提供证据？

主要发现

• 在T²上，Maslov类为零的曲线的平均曲率流收敛于直线，证明了每个哈密顿形变类中均存在特殊拉格朗日子流形。
• 所猜想的graded拉格朗日子流形的稳定性条件在T²上成立，因为不稳定的连接和（如L₁#L₂，其中φ(L₁) > φ(L₂)）会导致相位不连续性，因此不可能实现。
• 只有当第二个拉格朗日子流形的相位比第一个大过π时，特殊拉格朗日子流形的分度连接和才存在，以确保方向与分度的一致性。
• 在拉格朗日子流形上定义的Chern-Simons泛函（即路径上∫(F + ω)²的积分），提供了全纯Casson不变量的辛几何类比，并与相位和稳定性相联系。
• 哈密顿形变等价性保持相位与分度结构，因此通过Floer上同调类形成的任何连接和，必须满足与特殊拉格朗日子流形代表元相同的相位不等式。
• 镜像对称激发了全纯丛（具有平坦联络）与拉格朗日子流形（具有平坦线丛）之间的对偶性，Chern-Simons泛函的临界点对应于特殊拉格朗日子流形与全纯联络。