[论文解读] Moments and convex optimization for analysis and control of nonlinear partial differential equations

Milan Korda, Didier Henrion+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2018

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 25被引用 9

一句话总结

该论文提出了一种基于凸优化的框架，用于分析和控制具有多项式数据的非线性偏微分方程（PDEs），通过弱测度基嵌入将问题转化为无限维线性规划（LP），并利用一系列有限维半定规划（SDPs）进行近似。该方法在标准假设下提供PDE解泛函的严格界，并计算出无需空间-时间网格划分的次优多项式反馈控制器，且具有收敛性保证。

ABSTRACT

This work presents a convex-optimization-based framework for analysis and control of nonlinear partial differential equations. The approach uses a particular weak embedding of the nonlinear PDE, resulting in a linear equation in the space of Borel measures. This equation is then used as a constraint of an infinite-dimensional linear programming problem (LP). This LP is then approximated by a hierarchy of convex, finite-dimensional, semidefinite programming problems (SDPs). In the case of analysis of uncontrolled PDEs, the solutions to these SDPs provide bounds on a specified, possibly nonlinear, functional of the solutions to the PDE; in the case of PDE control, the solutions to these SDPs provide bounds on the optimal value of a given optimal control problem as well as suboptimal feedback controllers. The entire approach is based purely on convex optimization and does not rely on spatio-temporal gridding, even though the PDE addressed can be fully nonlinear. The approach is applicable to a very broad class nonlinear PDEs with polynomial data. Computational complexity is analyzed and several complexity reduction procedures are described. Numerical examples demonstrate the approach.

研究动机与目标

• 开发一种基于凸优化的框架，用于分析和控制具有多项式数据的非线性PDEs，避免传统网格划分。
• 在无控制情况下，提供PDE解非线性泛函的严格界。
• 为受控PDEs计算次优多项式反馈控制器。
• 在标准假设下，确保近似层次收敛到无限维LP的最优值。
• 通过结构利用和复杂度降低技术，实现计算效率提升。

提出的方法

• 使用占用测度和边界测度，将非线性PDE嵌入到Borel测度的无限维空间中，得到测度空间中的线性方程。
• 将无限维线性规划（LP）问题公式化，其中测度方程作为约束，用户定义的泛函作为目标。
• 利用Lasserre的有限维凸半定规划（SDP）松弛层次近似无限维LP。
• 使用定义在解图上的测度矩序列，避免通过空间或时间离散化直接求解PDE。
• 应用复杂度降低技术，如稀疏性利用和基变换，以提高可扩展性。
• 通过矩匹配从SDP解中提取多项式反馈控制器，实现在无需数值求解PDE的情况下进行闭环仿真。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一种基于凸优化的框架，用于分析和控制非线性PDEs，而无需依赖空间-时间网格划分？
• RQ2 无限维LP公式在何种条件下收敛到原始PDE问题的真实最优值？
• RQ3 如何在保持界的有效性和控制器质量的前提下降低计算复杂度？
• RQ4 该方法能否为具有多项式数据的非线性PDEs提供可证明有效的泛函界和次优反馈控制器？
• RQ5 熵约束或弱-强唯一性结果在建立测度基LP与原始PDE问题之间等价性方面起什么作用？

主要发现

• 在标准假设下，随着松弛阶数的增加，SDP松弛层次单调收敛到无限维LP的最优值。
• 在Burgers方程的算例中，该方法使用MOSEK在约1.2秒内计算出一个三次多项式反馈控制器，每时间步在100个空间点上的评估仅需1.5毫秒。
• 闭环仿真显示系统稳定收敛至零，证明了所计算控制器在无需数值求解PDE情况下的实际有效性。
• 无论PDE的动力学复杂度如何，泛函界和反馈控制器的有效性均达到SDP求解器的数值精度。
• 一旦矩的数量固定，该方法的计算成本与PDE动力学的复杂度无关，使其适用于高雷诺数流动。
• 该方法可通过提供PDE解泛函的严格界，实现对数值求解器的鲁棒性分析和验证。