[论文解读] Moments and distribution of central L-values of quadratic twists of elliptic curves

Maksym Radziwiłł, K. Soundararajan|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2014

Analytic Number Theory Research参考文献 8被引用 9

一句话总结

该论文为固定椭圆曲线 $ E $ 的所有实指数 $ k \in [0,1] $ 的二次扭曲中中心 L-值的矩建立了无条件上界，采用了一种新颖的互补原理，利用略高于第一矩的知识。它证明了 $ \log L(\frac{1}{2}, E_d) $ 的单边中心极限定理，支持 Keating-Snaith 猜想，并在 Birch-Swinnerton-Dyer 猜想下给出了 Tate-Shafarevich 群阶分布的上界。

ABSTRACT

We show that if one can compute a little more than a particular moment for some family of L-functions, then one has upper bounds of the conjectured order of magnitude for all smaller (positive, real) moments and a one-sided central limit theorem holds. We illustrate our method for the family of quadratic twists of an elliptic curve, obtaining sharp upper bounds for all moments below the first. We also establish a one sided central limit theorem supporting a conjecture of Keating and Snaith. Our work leads to a conjecture on the distribution of the order of the Tate-Shafarevich group for rank zero quadratic twists of an elliptic curve, and establishes the upper bound part of this conjecture (assuming the Birch-Swinnerton-Dyer conjecture).

研究动机与目标

• 为固定椭圆曲线 $ E $ 的二次扭曲族中所有 $ 0 \leq k \leq 1 $ 的中心 L-值矩 $ L(\frac{1}{2}, E_d)^k $ 建立无条件上界。
• 发展一种互补原理，表明对略高于某矩的知识可推出所有更小矩的上界。
• 研究 $ \log L(\frac{1}{2}, E_d) $ 的分布，并建立单边中心极限定理，支持 Keating-Snaith 猜想。
• 在 Birch-Swinnerton-Dyer 猜想下，推导出零秩二次扭曲中 Tate-Shafarevich 群阶分布的上界。

提出的方法

• 引入互补原理：若已知略高于 $ k $ 的矩，则可无条件推导出所有 $ \leq k $ 矩的上界。
• 以已知的第一矩 $ \sum_{|d|\leq X, d\in\mathcal{E}} L(\frac{1}{2}, E_d) \sim C_0(1,E)X $ 为输入，通过谱理论与调和分析控制更高阶矩。
• 应用 Mellin 变换技术及对傅里叶变换 $ \widehat{F} $ 的估计，控制扭曲 L-函数迹公式中的误差项。
• 利用 L-函数的凸性界与特征和，控制迹公式中非平凡傅里叶系数的贡献。
• 引入二分分解并截断和式 $ \beta\alpha^2 \leq Y $，选择 $ Y = X^{1/4} v^{-1/2} u^{-3/4} $ 以平衡误差项。
• 利用函数方程与 Waldspurger 定理，将注意力限制在根数 $ \epsilon_E(d) = 1 $ 的扭曲上，确保中心 L-值的非负性。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管在不依赖 GRH 的前提下第二矩不可达，能否为 $ 0 \leq k \leq 1 $ 的矩 $ \sum_{|d|\leq X} L(\frac{1}{2}, E_d)^k $ 建立无条件上界？
• RQ2 $ \log L(\frac{1}{2}, E_d) $ 的分布是否满足单边中心极限定理，与 Keating-Snaith 猜想一致？
• RQ3 能否以一种支持其服从均值为 $ -\frac{1}{2}\log\log|d| $、方差为 $ \log\log|d| $ 的正态分布的方式，对 $ \log L(\frac{1}{2}, E_d) $ 的上尾分布进行有界控制？
• RQ4 在 Birch-Swinnerton-Dyer 猜想下，对零秩二次扭曲中 Tate-Shafarevich 群阶的分布可得出什么结论？

主要发现

• 对所有 $ 0 \leq k \leq 1 $，当 $ X $ 足够大时，不等式 $ \sum_{|d|\leq X, d\in\mathcal{E}} L(\frac{1}{2}, E_d)^k \leq C(k,E) X (\log X)^{k(k-1)/2} $ 无条件成立。
• 该上界表明，对所有但 $ o(X) $ 个基本判别式 $ |d| \leq X $ 满足 $ d \in \mathcal{E} $，有 $ L(\frac{1}{2}, E_d) = O((\log|d|)^{-1/2 + \epsilon}) $。
• 满足 $ \frac{\log L(\frac{1}{2}, E_d) + \frac{1}{2}\log\log|d|}{\sqrt{\log\log|d|}} \geq V $ 的 $ d \in \mathcal{E} $ 的比例至多为 $ \left( \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_V^\infty e^{-x^2/2} dx + o(1) \right) \cdot |\{ d \in \mathcal{E} : |d| \leq X \}| $。
• 该结果支持 Keating-Snaith 猜想中关于 $ \log L(\frac{1}{2}, E_d) $ 的正态分布，建立了单边中心极限定理。
• 在 Birch-Swinnerton-Dyer 猜想下，零秩扭曲中 Tate-Shafarevich 群阶的猜想分布的上界部分得以确立。
• 该方法通过使用一种互补原理，从部分矩信息推导出上界，避免了对 GRH 的依赖，为 GRH 条件下的结果提供了无条件类比。