[论文解读] Momentum Maps and Classical Relativistic Fields. Part I: Covariant Field Theory

Mark J. Gotay, James Isenberg+2 more|ArXiv.org|Jan 16, 1998

Cosmology and Gravitation Theories被引用 55

一句话总结

本文利用多辛几何与动量映射，构建了一个协变场论框架，统一处理经典相对论性场论中的对称性、约束与规范自由度。研究证明，欧拉-拉格朗日方程在模去规范变换的意义下，等价于一个结合了双曲演化方程与一阶约束的系统，后者通过协变动量映射生成规范变换。

ABSTRACT

This is the first paper of a five part work in which we study the Lagrangian and Hamiltonian structure of classical field theories with constraints. Our goal is to explore some of the connections between initial value constraints and gauge transformations in such theories (either relativistic or not). To do this, in the course of these four papers, we develop and use a number of tools from symplectic and multisymplectic geometry. Of central importance in our analysis is the notion of the ``energy-momentum map'' associated to the gauge group of a given classical field theory. We hope to demonstrate that many different and apparently unrelated facets of field theories can be thereby tied together and understood in an essentially new way. In Part I we develop some of the basic theory of classical fields from a spacetime covariant viewpoint. We begin with a study of the covariant Lagrangian and Hamiltonian formalisms, on jet bundles and multisymplectic manifolds, respectively. Then we discuss symmetries, conservation laws, and Noether's theorem in terms of ``covariant momentum maps.''

研究动机与目标

• 通过几何方法统一处理经典相对论性场论中的初值约束与规范对称性。
• 发展一种广义化诺特定理的协变动量映射形式，适用于具有规范自由度的场论。
• 阐明参数化场论与度规场论中哈密顿结构、约束传播与规范不变性之间的相互作用。
• 为引力、杨-米尔斯、流体与弦理论提供一个统一的多辛形式框架，使它们能在同一多辛形式下被处理。
• 证明约束函数生成规范变换，且哈密顿量关于图集场线性，从而实现一致的规范固定。

提出的方法

• 在喷丛及其对偶上使用多辛几何，描述经典场论的协变相空间。
• 引入卡坦形式与协变勒让德变换，从拉格朗日密度推导出欧拉-拉格朗日方程。
• 定义喷射提升与协变正则变换，以保持多辛结构。
• 引入与时空对称性及内部对称性相关的协变动量映射概念，将诺特定理推广至场论。
• 推导出以约束泛函导数的辛伴随形式表示的演化方程。
• 将形式化应用于参数化场论，其中图集场（控制规范自由度）被视为任意函数，从而实现规范固定。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在协变、多辛框架下将诺特定理推广至具有规范对称性的相对论性场论？
• RQ2 初值约束与规范变换在经典场论中具有何种精确的几何关系？
• RQ3 欧拉-拉格朗日方程本身是欠定且超定的，如何在一致的动力系统中调和这两种矛盾性质？
• RQ4 哈密顿结构（表示为约束的线性组合）以何种方式编码理论的动力学与规范自由度？
• RQ5 该形式化如何适用于度规与非度规场论，包括引力、杨-米尔斯、流体与弦理论？

主要发现

• 欧拉-拉格朗日方程在模去规范变换的意义下，等价于双曲演化方程与一阶约束的联合系统。
• 约束函数通过柯西数据上的辛结构生成规范变换，建立了约束与规范自由度之间的直接联系。
• 哈密顿量形式为 $ H = \nabla_{\text{int}} \rho \times \text{constraints} $，关于图集场 $ \alpha_i $ 线性，后者作为规范固定参数。
• 演化方程以伴随形式表达：$ \frac{d}{d\lambda} \binom{\psi}{\rho} = \mathbb{J} \cdot \sum_i [D\Phi^i]^* \alpha_i $，确保约束的保持。
• 该形式化可统一应用于参数化与度规场论，包括引力、杨-米尔斯、流体与弦理论，当度规被视作动力场或参数场时。
• 动量映射构造在单一协变框架下，几何地统一了对称性、守恒律与规范不变性。