[论文解读] Momentum Maps and Classical Relativistic Fields. Part II: Canonical Analysis of Field Theories

Mark J. Gotay, James Isenberg+1 more|ArXiv.org|Nov 9, 2004

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 23被引用 46

一句话总结

本文通过基于柯西面的瞬时相空间上的动量图，发展了经典场论的规范形式，将第一部分中的协变动量图推广至哈密顿框架。它证明了瞬时相空间 $ T^*\tilde{\tau} $ 上的能量-动量图编码了杨-米尔斯理论和玻色弦等场论的哈密顿量与超动量，其分量对应于时空微分同胚和规范对称性。

ABSTRACT

With the covariant formulation in hand from the first paper of this series (physics/9801019), we begin in this second paper to study the canonical (or ``instantaneous'') formulation of classical field theories. The canonical formluation works with fields defined as time-evolving cross sections of bundles over a Cauchy surface, rather than as sections of bundles over spacetime as in the covariant formulation. In Chapter 5 we begin to relate these approaches to classical field theory; in particular, we show how covariant multisymplectic geometry induces the instantaneous symplectic geometry of cotangent bundles of sections of fields over a Cauchy surface. In Chapter 6, we proceed to consider field dynamics. A crucial feature of our discussion here is the degeneracy of the Lagrangian functionals for the field theories of interest. As a consequence of this degeneracy, we have constraints on the choice of initial data, and gauge freedom in the evolution of the fields. Chapter 6 considers the role of initial value constraints and gauge transformations in Hamiltonian field dynamics. In Chapter 7, we then describe how covariant momentum maps defined on the multiphase space induce "energy-momentum maps'' on the instantaneous phase spaces. We show that for a group action which leaves the Cauchy surface invariant, this energy-momentum map coincides with the usual notion of a momentum map. We also show, when the gauge group"includes'' the spacetime diffeomorphism group, that one of the components of the energy-momentum map corresponding to spacetime diffeomorphisms can be identified (up to sign) with the Hamiltonian for the theory.

研究动机与目标

• 在规范场配置空间的余切丛上使用辛几何，将经典场论形式化为正则（瞬时）框架。
• 通过柯西面的拉回构造，将协变多重辛结构 $ Z $ 上的结构与 $ T^*\tilde{\tau} $ 上的正则辛结构联系起来。
• 将协变设定中的动量图推广至正则形式，引入瞬时相空间上的“能量-动量图”。
• 证明能量-动量图的分量对应于物理守恒量，包括弦理论中的哈密顿量与超动量。
• 通过将第一类约束集识别为能量-动量图的零点集，阐明约束与规范对称性在正则形式中的作用。

提出的方法

• 将瞬时配置空间 $ \tilde{\tau} $ 定义为柯西面 $ \Sigma $ 上光滑截面的空间，并在 $ T^*\tilde{\tau} $ 上构造具有其规范辛形式 $ \omega_\tau $ 的相空间。
• 通过时空嵌入 $ \tau: \Sigma \to X $ 的拉回构造，将协变多重辛形式 $ \Omega $ 在 $ Z $ 上与正则辛形式 $ \omega_\tau $ 在 $ T^*\tilde{\tau} $ 上联系起来。
• 引入瞬时勒让德变换，将切丛 $ T\tilde{\tau} $ 映射到余切丛 $ T^*\tilde{\tau} $，从而实现哈密顿形式化。
• 将瞬时相空间上的能量-动量图 $ \mathcal{E}_\tau $ 定义为时空微分同胚与规范对称性在场配置空间上作用所诱导的动量图。
• 通过分部积分与约束约化，推导出杨-米尔斯理论与玻色弦等具体场论中能量-动量图的显式表达式。
• 证明系统的哈密顿量对应于能量-动量图的某一特定分量，特别是在最终约束流形上受限时。

实验结果

研究问题

• RQ1 第一部分中的协变动量图如何被提升至正则（瞬时）相空间 $ T^*\tilde{\tau} $？
• RQ2 协变多重相空间 $ Z $ 上的多重辛结构与 $ T^*\tilde{\tau} $ 上的辛结构之间的确切关系是什么？
• RQ3 能量-动量图在 $ T^*\tilde{\tau} $ 上的分量如何对应于哈密顿量与超动量等物理守恒量？
• RQ4 在何种条件下能量-动量图与正则形式中的标准动量图一致？
• RQ5 如何从能量-动量图中恢复场论（如玻色弦）的哈密顿量？

主要发现

• 证明了 $ T^*\tilde{\tau} $ 上的能量-动量图 $ \mathcal{E}_\tau $ 是时空微分同胚与规范对称性在场配置空间上作用所诱导的动量图。
• 对于玻色弦，能量-动量图的分量 $ \mathfrak{H} $ 与 $ \mathfrak{J} $ 恰好对应于超哈密顿量与超动量，且满足 $ \mathcal{E}_\tau = - (\mathfrak{H}, \mathfrak{J}) $。
• 玻色弦的哈密顿量被恢复为对应于时间平移的能源-动量图分量，表达式为 $ \mathfrak{H} = \frac{1}{2\sqrt{\gamma}}(\pi^2 + \partial\varphi^2) $。
• 超动量 $ \mathfrak{J} = \pi \cdot \partial\varphi $ 作为群 $ \mathcal{G}_\tau $ 作用在正则形式中非平凡地作用的动量图分量出现。
• 能量-动量图与陈-西蒙斯哈密顿量之间的差异在于一个涉及约束 $ F_{12} = 0 $ 的拉格朗日乘子项，但在最终约束流形上二者一致。
• 杨-米尔斯理论在 $ \mathcal{P}_\tau $ 上的能量-动量图由包含规范场 $ A $、其场强 $ F $ 与基灵向量场 $ \xi $ 的积分表达式给出，哈密顿量被识别为与时间平移对应的分量。