[论文解读] Momentum-space Lippmann-Schwinger-Equation, Fourier-transform with Gauss-Expansion-Method

Th. A. Rijken|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2014

Experimental and Theoretical Physics Studies参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文提出一种新颖方法，利用高斯展开法（GEM）对配置空间核子-核子势进行傅里叶变换，以计算动量空间核子-核子势。通过采用日山-神村几何级数法确定质量参数的高斯基函数展开势，该方法可实现傅里叶-贝塞尔积分的解析计算，从而消除数值振荡——尤其在初态与末态动量不相等时更为显著。该方法生成的动量空间势能可高度精确地再现NN相移，与配置空间结果对ESC08c势能的计算结果一致。

ABSTRACT

In these notes we construct the momentum-space potentials from configuration-space using for the Fourier-transformation the Gaussian-Expansion-Method (GEM). This has the advantage that the Fourier-Bessel integrals can be performed analytically, avoiding possible problems with the oscillations in the Bessel functions for large r, in particular for $p_f eq p_i$. The mass parameters in the exponentials of the Gaussian base-functions are fixed using the geometric progression recipe of Hiyama-Kamimura. The fitting of the expansion coefficients is linearly and very fast. Application to nucleon-nucleon is given in detail for the recent Extended-soft-core model ESC08c. The NN phase shifts obtained by solving the Lippmann-Schwinger equations agree very well with those obtained in configuration-space solving the Schrödinger equations.

研究动机与目标

• 开发一种稳健、解析的配置空间核子-核子势到动量空间形式的转换方法。
• 克服由振荡贝塞尔函数引起的傅里叶-贝塞尔积分中的数值不稳定性，尤其在初态与末态动量不同时。
• 通过解析推导的势能，实现动量空间中李普曼-施温格方程的高效且精确求解。
• 通过将展开系数推广为矩阵形式，将该方法推广至耦合道超子-核子系统。

提出的方法

• 采用高斯展开法（GEM）将配置空间势能展开为高斯函数基的线性组合，质量参数通过日山-神村几何级数法确定。
• 利用已知的误差函数与修正贝塞尔函数形式的积分表达式，对核力中的中心、张量、自旋-轨道及二次自旋-轨道势的傅里叶-贝塞尔积分进行解析求解。
• 通过利用高斯-贝塞尔积分的解析性质，避免对振荡贝塞尔函数进行数值积分，从而确保计算的稳定性和精度。
• 通过线性拟合配置空间势能值与体积积分，确定展开系数，实现动量空间势能的快速且精确重构。
• 该方法应用于扩展软芯ESC08c势，通过采用Kowalski-Noyes与Haftel-Tabakin方法求解李普曼-施温格方程，验证了结果的可靠性。
• 对于耦合道系统（如ΛN、ΣN），将展开系数推广为同位旋与道空间中的2×2矩阵形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过解析方法实现配置空间势能到动量空间的傅里叶变换，以避免贝塞尔函数的数值振荡？
• RQ2 采用日山-神村质量参数选择的GEM方法，是否能生成准确再现相移的动量空间势能？
• RQ3 该方法能否通过将展开系数推广为矩阵形式，推广至具有矩阵系数的耦合道超子-核子系统？
• RQ4 基于GEM的动量空间势能计算在计算效率上与动量空间中的直接数值积分相比如何？

主要发现

• 利用GEM对傅里叶-贝塞尔积分进行解析求解，可确保数值稳定性并消除振荡，尤其在p_f ≠ p_i时效果显著。
• 通过GEM构建的动量空间势能与ESC08c势能的配置空间结果相比，能高度精确地再现NN相移。
• 仅需少量GEM基函数即可实现高精度，因为展开系数的拟合为线性过程，收敛迅速。
• 通过使用施温格表示法，可自然导出高斯形式，将介子传播子与GEM基函数建立联系。
• 采用Kowalski-Noyes与Haftel-Tabakin方法求解李普曼-施温格方程，所得相移基本一致，验证了方法的一致性。
• 通过将展开系数推广为道空间中的矩阵形式，该方法可轻松推广至耦合道系统，如超子-核子散射。