[论文解读] Monge-Ampère operators on compact Kähler manifolds

Vincent Guedj, Ahmed Zériahi|ArXiv.org|Apr 12, 2005

Geometry and complex manifolds参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文在紧致凯勒流形上对一类自然的奇异 plurisubharmonic 函数 ${\mathcal{E}}^1(X,\omega)$ 完整刻画了复 Monge-Ampère 算子，证明了概率测度 $\mu$ 是某个满足 $\sup_X \varphi = -1$ 的唯一 $\omega$-psh 函数 $\varphi \in {\mathcal{E}}^1(X,\omega)$ 的 Monge-Ampère 测度，当且仅当 $\mathcal{E}^1(X,\omega) \subset L^1(\mu)$。该结果将经典存在性定理推广至奇异测度，并为研究凯勒爱因斯坦度量和复动力系统中的不变测度奠定了基础。

ABSTRACT

We study the complex Monge-Amp\` ere operator on compact Kähler manifolds. We give a complete description of its range on the set of $ω-$plurisubharmonic functions with $L^2$ gradient and finite self energy, generalizing to this compact setting results of U.Cegrell from the local pluripoltential theory. We give some applications to complex dynamics and to the existence of Kähler-Einstein metrics on singular manifolds.

研究动机与目标

• 将复 Monge-Ampère 算子理论扩展至紧致凯勒流形，超越光滑或有界解的范围。
• 定义并研究 $\mathcal{E}^1(X,\omega)$ 类 $\omega$-plurisubharmonic 函数，其能量有限且关于其 Monge-Ampère 测度可积。
• 在该类上完整刻画 Monge-Ampère 算子的值域，解决奇异测度 $\mu$ 下 $[MA](X,\omega,\mu)$ 的可解性问题。
• 将结果应用于复动力系统，证明最大熵不变测度的存在性，并应用于奇异代数簇上的凯勒爱因斯坦度量。
• 连接局部 pluripotential 理论（Cegrell）与全局紧致凯勒几何，突出关键差异，如缺乏边界条件以及算子齐次性的丧失。

提出的方法

• 引入 $\mathcal{E}(X,\omega)$ 类 $\omega$-psh 函数，其梯度属于 $L^2$，确保在 $k=2$ 时 Monge-Ampère 算子 $\omega_\varphi^k$ 有定义，并将此推广至高维。
• 将 $\mathcal{E}^1(X,\omega)$ 定义为满足 $\omega_\varphi^k$ 有定义且 $\varphi \in L^1(\omega_\varphi^k)$ 的 $\omega$-psh 函数集合，建立其星形凸性及在最大值运算下的稳定性。
• 利用分部积分与连续性结果（定理 3.1）证明 $\mathcal{E}^1(X,\omega)$ 中 Monge-Ampère 方程的解在加常数意义下唯一。
• 通过在 $\mathcal{E}^p(X,\omega)$（$p>1$）中进行逼近，再取 $p=1$ 的极限，借助一致估计与 $L^1$-拓扑中的紧致性构造解。
• 将主结果应用于复动力系统，证明若 $\mathcal{E}^1(X,\omega) \subset L^1(\mu_f)$，则全纯映射 $f$ 的最大熵不变测度 $\mu_f$ 可表示为 $\mu_f = (\omega + dd^c g)^k$，其中 $g \in \mathcal{E}^1(X,\omega)$ 唯一且 $\sup_X g = -1$。
• 证明该框架同样适用于奇异代数簇上的凯勒爱因斯坦度量，通过求解 $[MA](\tilde{X},\tilde{\omega},\tilde{\mu})$，其中 $\tilde{\omega}$ 为大且半正的类，将结果推广至非凯勒但大同调类的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧致凯勒流形上，给定的概率测度 $\mu$ 在何种条件下是 $\mathcal{E}^1(X,\omega)$ 中某个 $\omega$-psh 函数的 Monge-Ampère 测度？
• RQ2 当解允许奇异时，如何在紧致凯勒流形上完整刻画 Monge-Ampère 算子的值域？
• RQ3 $\mathcal{E}^1$ 类在保证退化 Monge-Ampère 方程解的存在性与唯一性中起何作用？
• RQ4 该理论能否推广至非凯勒但大且半正的同调类，特别是在奇异代数簇上的凯勒爱因斯坦度量背景下？
• RQ5 $\mathcal{E}^1$ 条件在多大程度上控制了解的奇点性质及复动力系统中相关测度的支撑？

主要发现

• 概率测度 $\mu$ 属于 $\mathcal{E}^1(X,\omega)$ 上 Monge-Ampère 算子的值域，当且仅当 $\mathcal{E}^1(X,\omega) \subset L^1(\mu)$，提供了精确的可解性判据。
• 即使对于奇异测度，$\omega_\varphi^k = \mu$ 在 $\mathcal{E}^1(X,\omega)$ 中的解在加常数意义下唯一。
• $\mathcal{E}^1(X,\omega)$ 包含具有零 Lelong 数的无界函数，但其 Monge-Ampère 测度仍定义良好且有限。
• 对于紧致凯勒流形上满足 $\lambda_1(f) > 1$ 的全纯映射 $f$，其最大熵不变测度 $\mu_f$ 可表示为 $\mu_f = (\omega + dd^c g)^k$，其中 $g \in \mathcal{E}^1(X,\omega)$ 唯一且 $\sup_X g = -1$，前提是 $\mathcal{E}^1(X,\omega) \subset L^1(\mu_f)$。
• 在 $\mathbb{P}^2$ 上的复动力系统中，动力格林函数 $g^+, g^-$ 不属于 $\mathcal{E}^1(\mathbb{P}^2,\omega)$，但其最大值 $g = \max(g^+, g^-)$ 属于该类，且满足 $\int_X (-g) \omega_g^2 < \infty$，暗示 $\mu_f = (\omega + dd^c g)^2$ 的可能性。
• 该结果可推广至大且半正的同调类，允许在奇异代数簇的解析解 $\tilde{X} \to X$ 上构造 $\mathcal{E}^1(\tilde{X},\tilde{\omega})$ 中的解，从而实现对奇异流形上凯勒爱因斯坦度量的研究。