[论文解读] Monge-Kantorovich distance for PDEs: the coupling method

Nicolas Fournier, Benoı̂t Perthame|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 25被引用 5

一句话总结

本文提出一种基于偏微分方程（PDE）的耦合方法，用于分析各类PDE解之间的传输距离，包括热方程、福克-普朗克方程、分数阶热方程和玻尔兹曼方程。通过在乘积空间 R²d 上构造一个耦合PDE，该方法证明了蒙日-坎托罗维奇传输成本随时间衰减，从而在适当的代价函数下建立了这些方程的非扩张性质。

ABSTRACT

We informally review a few PDEs for which the Monge-Kantorovich distance between pairs of solutions, possibly with some judicious cost function, decays: heat equation, Fokker-Planck equation, heat equation with varying coefficients, fractional heat equation with varying coefficients, homogeneous Boltzmann equation for Maxwell molecules, and some nonlinear integro-differential equations arising in neurosciences. We always use the same method, that consists in building a coupling between two solutions. This amounts to solve a well-chosen PDE posed on the Euclidian square of the physical space, i.e. doubling the variables. Finally, although the above method fails, we recall a simple idea to treat the case of the porous media equation. We also introduce another method based on the dual Monge-Kantorovich problem.

研究动机与目标

• 开发一种系统化的基于PDE的耦合方法，以分析演化PDE解之间传输距离的衰减。
• 统一分析各类PDE（包括线性和非线性方程）在传输成本上的非扩张性质。
• 将概率耦合方法拓展至确定性PDE框架，避免使用随机过程的同时保留关键的压缩估计。
• 针对标准耦合方法失效的情形（如多孔介质方程），引入替代方法，包括对偶形式和离散化。
• 提供一种仅基于PDE的严格推导，用于传输成本的压缩结果，补充现有的概率和变分方法。

提出的方法

• 在 R²d 上为两个解 u₁ 和 u₂ 构造一个耦合PDE，以建模两个时间连续过程的联合分布 v(x, y, t)。
• 确保 v(x, y, t) 的边缘分布满足原始PDE，且 v 集中在对角线 x = y 附近，表明解之间的接近性。
• 使用传输成本 Tϱ(u₁(t), u₂(t)) = ∫∫ ϱ(x, y)v(x, y, t) dx dy 来量化解之间的距离。
• 通过证明在代价函数 ϱ 的适当条件下，有 d/dt ∫∫ ϱ(x, y)v(x, y, t) dx dy ≤ 0，来证明 Tϱ 的衰减。
• 将该方法应用于具有变系数、分数阶拉普拉斯算子以及动能散射的方程，通过构造合适的代价函数。
• 对于耦合方法失效的多孔介质方程，采用对偶形式和变量变换，恢复传输成本的非扩张性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用确定性的PDE耦合方法，在不依赖随机过程的前提下，证明PDE中方程的蒙日-坎托罗维奇传输成本的非扩张性？
• RQ2 代价函数 ϱ 需满足何种条件，才能确保热方程或福克-普朗克方程解的 Tϱ(u₁(t), u₂(t)) 随时间非增？
• RQ3 如何将该耦合方法适配于具有变系数、分数阶算子或跳跃过程的PDE？
• RQ4 为何标准耦合方法在多孔介质方程中失效，以及何种替代方法可恢复传输成本的非扩张性？
• RQ5 能否利用传输成本的对偶形式，证明在直接耦合失效的PDE中，传输成本仍具有压缩性？

主要发现

• 对于光滑代价函数 ϱ(x, y) = r(|x−y|) 的热方程，蒙日-坎托罗维奇距离 Tϱ 随时间非扩张，且满足 d/dt Tϱ ≤ 0。
• 对于福克-普朗克方程，该耦合方法证明了在适当条件下 T₁(u₁(t), u₂(t)) 非增。
• 对于变系数热方程 ∂ₜu − Δ(a(x)u) = 0，若 ϱ 满足某一椭圆PDE条件，则 Tϱ 非扩张。
• 对于具有变系数的分数阶热方程，通过构造合适的代价函数，该方法可扩展，确保 Tϱ 的衰减。
• 对于具有麦克斯韦分子的齐次玻尔兹曼方程，该耦合方法利用参数化碰撞模型，证明了 T₁(u₁(t), u₂(t)) 非增。
• 对于多孔介质方程，耦合方法失效，但通过对偶形式和变量变换，可证明 T₂(u₁(t), u₂(t)) 非增，且对于泛函 I(t) = T₂(u₁(t), u₂(t))，有 I′(t) ≤ 0。