[论文解读] Monitorability of $\omega$-regular languages

Andreas Bauer|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2010

Formal Methods in Verification参考文献 17被引用 10

一句话总结

本文证明，当通过LTL公式、非确定性Büchi自动机（NBAs）或ω-正则表达式指定时，ω-正则语言的可监测性问题——即在有限观察后能否确定性地判断语言是否被满足或违反——是PSpace-完全的。关键贡献在于通过证明可监测性可在多项式空间内判定，填补了长期存在的复杂性差距，其复杂性与安全性质检查的复杂性相匹配。

ABSTRACT

Arguably, omega-regular languages play an important role as a specification formalism in many approaches to systems monitoring via runtime verification. However, since their elements are infinite words, not every omega-regular language can sensibly be monitored at runtime when only a finite prefix of a word, modelling the observed system behaviour so far, is available. The monitorability of an omega-regular language, L, is thus a property that holds, if for any finite word u, observed so far, it is possible to add another finite word v, such that uv becomes a "finite witness" wrt. L; that is, for any infinite word w, we have that uvw \\in L, or for any infinite word w, we have that uvw \ ot\\in L. This notion has been studied in the past by several authors, and it is known that the class of monitorable languages is strictly more expressive than, e.g., the commonly used class of so-called safety languages. But an exact categorisation of monitorable languages has, so far, been missing. Motivated by the use of linear-time temporal logic (LTL) in many approaches to runtime verification, this paper first determines the complexity of the monitorability problem when L is given by an LTL formula. Further, it then shows that this result, in fact, transfers to omega-regular languages in general, i.e., whether they are given by an LTL formula, a nondeterministic Buechi automaton, or even by an omega-regular expression.

研究动机与目标

• 确定通过LTL或NBAs指定时，检查一个ω-正则语言是否可监测的计算复杂性。
• 弥合此前已知的2ExpSpace上界与安全性质检查的PSpace-完全性之间的差距。
• 证明所有标准ω-正则语言表示形式下，可监测性均可在多项式空间内判定。
• 建立可监测ω-语言在交集、补集和并集下的封闭性质。
• 为在运行时验证或监测器生成前，早期检测不可监测规格提供实用基础。

提出的方法

• 将LTL和NBAs的可监测性问题归约为检查每个有限前缀是否为好前缀或坏前缀，采用三值语义框架。
• 利用好前缀与坏前缀之间的对偶性：当且仅当每个有限字都是好前缀或坏前缀时，语言才是可监测的。
• 利用NBAs的补集构造来检查补集语言是否为空，该问题已知为LogSpace-完全。
• 应用NBAs的封闭性质，包括确定化和补集操作，以在多项式时间内验证可监测性条件。
• 通过多项式时间将ω-正则表达式转换为NBAs，将复杂性结果从NBAs推广至ω-正则表达式。
• 将问题归约为确定性Büchi自动机（DBAs）的空性问题，以高效验证可监测性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 确定一个LTL公式是否定义了一个可监测的ω-正则语言的计算复杂性是什么？
• RQ2 NBAs和ω-正则表达式的可监测性问题是否也是PSpace-完全的，还是属于更高复杂性类？
• RQ3 可监测ω-语言能否通过标准语言运算下的封闭性质来表征？
• RQ4 一个ω-正则语言的可监测性是否依赖于规格形式化语言的选择（例如LTL与NBA或ω-正则表达式）？
• RQ5 可监测性是否可在多项式空间内判定，其复杂性与安全性质检查相匹配？

主要发现

• LTL和NBAs的可监测性问题为PSpace-完全，解决了长期存在的复杂性差距。
• 该结果可扩展至ω-正则表达式，因为其可在多项式时间内转换为NBAs，且保持可监测性状态不变。
• 可监测ω-语言在有限交集、补集和并集下具有封闭性，构成在布尔运算下稳定的类。
• 可监测语言类严格扩展了安全性质类，证实了其更强的表达能力。
• 可监测性的复杂性与安全性质检查的复杂性一致，支持对规格进行高效的前期分析。
• 本文为早期检测不可监测规格提供了实用基础，可避免无谓的监测器构建。