[论文解读] Monochromatic cycles and the monochromatic circumference in 2-coloured graphs

Alex Scott, Matthew White|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2011

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文证明了李、尼基福罗夫和舍尔普提出的猜想：最小度超过 $\frac{3}{4}n$ 的2-边染色图包含所有长度 $\ell \in [4, \lceil n/2 \rceil]$ 的单色圈，且将实现该界 $\delta(G) = \frac{3}{4}n$ 的极值图刻画为具有2-二分2-边染色的 $K_{p,p,p,p}$ 的爆破图。此外，本文还证明此类图的单色周长至少为 $\left(\frac{2}{3} + \frac{\delta}{2}\right)n$，或在某一颜色中包含所有长度至 $\left(\frac{2}{3} - \delta\right)n$ 的单色圈。

ABSTRACT

Li, Nikiforov and Schelp conjectured that a 2-edge coloured graph G with order n and minimal degree strictly greater than 3n/4 contains a monochromatic cycle of length l, for all l at least four and at most n/2. We prove this conjecture for sufficiently large n and also find all 2-edge coloured graphs with minimal degree equal to 3n/4 that do not contain all such cycles. Finally we show that, for all positive constants d and sufficiently large n, a 2-edge coloured graph G of order n with minimal degree at least 3n/4 either contains a monochromatic cycle of length at least (2/3+d/2)n, or, in one of the two colours, contains a cycle of all lengths between three and (2/3-d)n.

研究动机与目标

• 证明李、尼基福罗夫和舍尔普的猜想：最小度 $> \frac{3}{4}n$ 的2-边染色图包含所有长度 $\ell \in [4, \lceil n/2 \rceil]$ 的单色圈。
• 刻画所有最小度 $\delta(G) = \frac{3}{4}n$ 且不包含此类单色圈的2-边染色图。
• 建立最小度 $\delta(G) \geq \frac{3}{4}n$ 的2-边染色图中单色周长的紧下界。
• 将结果推广至 $k$-边染色图，并提出关于高最小度 $k$-边染色图中单色圈存在的猜想。

提出的方法

• 通过使用具有2-二分2-边染色的完全4-部图 $K_{p,p,p,p}$ 构造极值图，以证明 $\frac{3}{4}n$ 度界是紧的。
• 在极值图论中应用稳定性与正则性方法，分析稠密2-边染色图的结构。
• 通过对红、蓝子图中圈的分布进行概率与组合分析，推导出单色圈长度的界。
• 定义图族 $F_{s,t}$ 和 $G_t^{(r)}$，以证明单色周长界的渐近最优性。
• 在顶点类上使用标记方案，以在每种颜色类中强制实现二分性，从而构造出不包含奇单色圈的极值例子。
• 以已知的泛圈性与哈密顿性结果（如狄拉克定理与邦迪定理）为基础，建立2-染色图的类比。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个最小度 $> \frac{3}{4}n$ 的2-边染色图是否都包含所有长度 $\ell \in [4, \lceil n/2 \rceil]$ 的单色圈？
• RQ2 最小度 $\delta(G) = \frac{3}{4}n$ 且不包含所有此类单色圈的极值2-边染色图是什么？
• RQ3 在最小度 $\delta(G) \geq \frac{3}{4}n$ 的2-边染色图中，单色周长的最小可能值是多少？
• RQ4 这些结果能否推广至高最小度的 $k$-边染色图？
• RQ5 对于 $c < \frac{3}{4}$，单色周长函数 $\Phi_c$ 的精确值是什么？

主要发现

• 对于所有充分大的 $n$，李、尼基福罗夫和舍尔普的猜想得到证实：每个最小度 $> \frac{3}{4}n$ 的2-边染色图都包含所有长度 $\ell \in [4, \lceil n/2 \rceil]$ 的单色圈。
• 唯一实现 $\delta(G) = \frac{3}{4}n$ 且不包含所有此类单色圈的极值图是具有 $n = 4p$ 的2-二分2-边染色完全4-部图 $K_{p,p,p,p}$。
• 对所有 $\delta > 0$ 及充分大的 $n$，若2-边染色图满足 $\delta(G) \geq \frac{3}{4}n$，则其单色周长至少为 $\left(\frac{2}{3} + \frac{\delta}{2}\right)n$，或在某一颜色中包含所有长度 $\ell \in [3, (\frac{2}{3} - \delta)n]$ 的单色圈。
• 对所有 $c \geq \frac{3}{4}$，建立了 $\Phi_c = \frac{2}{3}$，并通过 $G_t^{(r)}$ 形式的构造证明该界是渐近紧的。
• 极值构造 $F_{2t+r,t}$ 表明，对于 $n = 3t + r$，猜想的单色周长 $2t + r$ 是最优的。
• 提出了一个 $k$-色类比：当 $\delta(G) \geq \left(1 - \frac{1}{2^k}\right)n$ 时，要么所有长度 $\ell \in [\min\{2^k, 3\}, \lceil n/2^{k-1} \rceil]$ 的圈在某一颜色中为单色，要么 $G$ 是 $k$-二分的 $k$-边染色完全 $2^k$-部图。