[论文解读] Monochromatic disconnection of graphs

Ping Li, Xueliang Li|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 21被引用 5

一句话总结

本文引入了单色断开数 $md(G)$，定义为在确保每对顶点均被单色边割分离的边着色中，最多可使用的颜色数。本文证明几乎所有图都有 $md(G) = 1$，并为 $md(G) + md(\overline{G})$ 和 $md(G) \cdot md(\overline{G})$ 建立了紧致的Nordhaus-Gaddum型界，且对多种图阶数，这些界均为最优。

ABSTRACT

For an edge-colored graph $G$, we call an edge-cut $M$ of $G$ monochromatic if the edges of $M$ are colored with a same color. The graph $G$ is called monochromatically disconnected if any two distinct vertices of $G$ are separated by a monochromatic edge-cut. For a connected graph $G$, the monochromatic disconnection number, denoted by $md(G)$, of $G$ is the maximum number of colors that are needed in order to make $G$ monochromatically disconnected. We will show that almost all graphs have monochromatic disconnection numbers equal to 1. We also obtain the Nordhaus-Gaddum-type results for $md(G)$.

研究动机与目标

• 定义并研究单色断开数 $md(G)$，即在确保每对顶点均被单色边割分离的边着色中，最多可使用的颜色数。
• 确定随机图中 $md(G)$ 的典型值，证明几乎所有图都有 $md(G) = 1$。
• 为满足 $n \geq 4$ 的连通图，建立 $md(G) + md(\overline{G})$ 和 $md(G) \cdot md(\overline{G})$ 的紧致Nordhaus-Gaddum型不等式。
• 通过显式构造和归纳论证，证明所导不等式的最优性。

提出的方法

• 将单色边割定义为所有边颜色相同的边割，并定义图 $G$ 为单色断开图，若其每对顶点均被此类边割分离。
• 将单色断开数 $md(G)$ 定义为实现单色断开的边着色中最多可使用的颜色数。
• 通过顶点删去的归纳论证，特别关注度数至少为2的顶点和悬挂顶点，以界定 $md(G)$ 和 $md(\overline{G})$。
• 应用引理2.7，证明移除一个非悬挂且非割点的顶点不会增加单色断开数，从而支持归纳界。
• 通过构造极值图（如 $B_n$ 和 $K_{n}^{-}$）来证明 $md(G) \cdot md(\overline{G})$ 上限的最优性。
• 分析特定 $n$ 下的补图 $\overline{G}$，以推导 $md(G) + md(\overline{G})$ 和 $md(G) \cdot md(\overline{G})$ 的精确值与界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于随机连通图，单色断开数 $md(G)$ 的典型值是什么？
• RQ2 当 $G$ 和 $\overline{G}$ 均为连通图且 $|G| = n \geq 4$ 时，$md(G) + md(\overline{G})$ 的最佳上界与下界是什么？
• RQ3 在相同条件下，$md(G) \cdot md(\overline{G})$ 的最佳上界与下界是什么？
• RQ4 对于哪些 $n$ 值，$md(G) \cdot md(\overline{G})$ 取得最小值或最大值？这些极值是否可实现？

主要发现

• 几乎所有图的单色断开数均为 $md(G) = 1$，表明单色断开是随机图的典型性质。
• 当 $n = 4$ 时，$md(G) + md(\overline{G}) = 6$ 且 $md(G) \cdot md(\overline{G}) = 9$，且这两个值均为最优。
• 当 $n = 5$ 时，$md(G) + md(\overline{G})$ 的上界为6，$md(G) \cdot md(\overline{G})$ 的上界为9，且等号可取到。
• 当 $n = 6$ 时，$md(G) + md(\overline{G})$ 的下界为4，$md(G) \cdot md(\overline{G})$ 的下界为3、上界为10，且两个界均为最优。
• 当 $n \geq 7$ 时，$md(G) \cdot md(\overline{G})$ 的上界为 $2(n-1)$，且该界可通过构造图 $B_n$ 和 $\overline{B_n}$ 得到证明，故为最优。
• 当 $n \geq 7$ 时，$md(G) \cdot md(\overline{G})$ 的最小值为1，当 $md(G) = 1$ 且 $md(\overline{G}) = 1$ 时可实现，表明下界为紧致。