[论文解读] Monodromy at Infinity and the Weights of Cohomology

Alexandru Dimca, Morihiko Saito|ArXiv.org|Feb 25, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文建立了多项式映射在无穷远处单值群中特征值1的若尔当代数块大小的界限，表明其受良好紧化中无穷远除子最大重数的约束。本文将这些块与权过滤中的全局不变周期联系起来，并证明在分次部分中较大的若尔当代数块源自总上同调中的更大块，其应用涵盖周期积分和渐近展开的有理性。

ABSTRACT

We show that for a polynomial map, the size of the Jordan blocks for the eigenvalue 1 of the monodromy at infinity is bounded by the multiplicity of the reduced divisor at infinity of a good compactification of a general fiber. The existence of such Jordan blocks is related to global invariant cycles of the graded pieces of the weight filtration. These imply some applications to period integrals. We also show that such a Jordan block of size greater than 1 for the graded pieces of the weight filtration is the restriction of a strictly larger Jordan block for the total cohomology group. If there are no singularities at infinity, we have a more precise statement on the monodromy.

研究动机与目标

• 确定多项式映射在无穷远处单值群中特征值1的若尔当代数块的最大大小。
• 阐明此类若尔当代数块与权过滤分次部分中全局不变周期之间的关系。
• 建立在权过滤分次部分中特征值1的非平凡若尔当代数块源自总上同调中严格更大的块的结论。
• 将这些结果应用于周期积分，特别是无穷远处周期积分的有理性与渐近行为。

提出的方法

• 利用一般纤维的良好紧化来定义无穷远除子及其重数 $m_s$。
• 分析一般纤维上同调上的单值作用，重点关注特征值1及其若尔当代数块。
• 应用权过滤及其通过混合霍奇结构与单值作用的相容性。
• 应用邻近周期函子及在 $\mathbb{C}$ 的扎里斯基开子集上的混合霍奇结构变化理论。
• 通过嵌入解析与上同调层理论计算邻近周期，将问题约化至可换交截情形。
• 运用对偶性论证及同调上的对偶过滤，将不变量与周期积分联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 多项式映射在无穷远处单值群中特征值1的若尔当代数块大小存在何种界限？
• RQ2 这些若尔当代数块如何与权过滤分次部分中的全局不变周期相关？
• RQ3 权过滤分次部分中特征值1的若尔当代数块能否在总上同调中扩展为严格更大的块？
• RQ4 在何种条件下，微分形式的周期积分是参数在无穷远处的有理函数？
• RQ5 无穷远处周期积分的渐近展开如何与无穷远除子的重数相关？

主要发现

• 无穷远处单值群中特征值1的若尔当代数块大小受 $m_s$（无穷远除子的最大重数）以及 $j$（当 $j > 0$ 时）的限制。
• 若单值群在 $\mathrm{Gr}^W_i H^j(X_s,\mathbb{Q})$ 上对特征值1有大小为 $r > 0$ 的若尔当代数块，则存在 $i' = i + r + 1 \leq j + m'_s$，使得 $\mathrm{Gr}^W_{i'} H^j(X_s,\mathbb{Q})$ 具有非零全局不变周期。
• 在分次部分中特征值1的大小 $r > 1$ 的若尔当代数块，是总上同调群中严格更大块的限制。
• 对于共形上同调紧致的多项式，当 $i \neq n$ 时，分次部分 $\mathrm{Gr}^W_i H^n(X_s,\mathbb{Q})$ 为常数，且单值数据满足涉及 $m(\infty,1,r)$ 和 $m'(s,\lambda,r)$ 的显式公式。
• 若微分形式 $\omega$ 的德拉姆类具有权重 $\leq i'$，其中 $i'$ 由不变周期条件确定，则周期积分 $\int_{\gamma_t} \omega$ 是 $t$ 的有理函数。
• 对于无穷远处的有理渐近展开，当 $\alpha \in \mathbb{Z}$ 时，对数项的阶数 $r(\alpha)$ 受 $m'_s - 1$ 的限制，优于一般单值群定理给出的 $j$ 的界限。