[论文解读] Monoidal bicategories, differential linear logic, and analytic functors

Harington, Eliès, Mimram, Samuel|arXiv (Cornell University)|May 9, 2024

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 1

一句话总结

本文通過在張量2-範疇中發展具有線性指數偽共單的張量2-範疇與共導結構，引入了微分線性邏輯的雙分類框架。它將Joyal的解析函子演算推廣至預層範疇之間的函子，透過雙函子與分類對稱序列，將單變數推廣至多變數微分演算，並在雙分類設定中明確驗證了乘積法則與鏈式法則。

ABSTRACT

The notion of categorical model of linear logic is now well studied and established around the notion of linear-non-linear adjunction, which encompasses the earlier notions of Seely categories, Lafont categories and linear categories. These categorical structures have counterparts in the realm of ∞-categories, which can thus be thought of as weak forms of models of linear logic. The goal of this article is to formally introduce them and study their relationships. We show that ∞-linear-non-linear adjunctions still play the role of a unifying notion of model in this setting. Moreover, we provide a sufficient condition for a symmetric monoidal ∞-category to be Lafont. Finally, we illustrate our constructions by providing models: we construct linear-non-linear adjunctions that generalize well-known models in relations (and variants based on profunctors or spans), domains and vector spaces. In particular, we introduce a model based on spectra, a homotopical variant of abelian groups.

研究动机与目标

• 發展微分線性邏輯的線性指數共單的雙分類對應物。
• 將Joyal的解析函子理論從Set推廣至預層範疇之間的函子。
• 確立微分演算的規則（如乘積法則與鏈式法則）在分類對稱序列的背景下成立。
• 在2-範疇設定中，為線性邏輯與微分線性邏輯的模型提供統一框架。
• 證明偽共單在雙函子上的Kleisli 2-範疇是笛卡爾閉的，並支援良好的導數演算。

提出的方法

• 在張量2-範疇中引入偽共單與偽代數，以建模線性指數結構。
• 透過自然變換 $\bar{d}_A : A \to !A$ 定義共導變換，其公理與微分演算相對應。
• 以雙函子 $\mathbf{Prof}$ 中的雙函子作為態射，其中 $!A$ 表示 $A$ 上的自由對稱嚴格張量範疇，以建模非線性映射。
• 將分類對稱序列 $F : A \to B$ 的導數定義為雙函子 $dF : A \times !A \to B$，其定義為 $dF(b, (a, \alpha)) = F(b, \alpha \setminus \{a\})$。
• 利用 $\mathbf{Prof}$ 上緊緻閉結構的內部冪，將導數解釋為Kleisli 2-範疇中的態射。
• 驗證共導公理可推出雙分類設定下的標準微分演算規則，如乘積法則與鏈式法則。

实验结果

研究问题

• RQ1 線性指數共單理論如何從張量範疇推廣至張量2-範疇？
• RQ2 共導變換的雙分類類比為何？它如何在2-範疇設定中支援微分演算？
• RQ3 能否利用雙函子與對稱序列，將Joyal的解析函子理論推廣至預層範疇之間的函子？
• RQ4 微分演算的基本規則（乘積法則與鏈式法則）是否在此雙分類框架中成立？
• RQ5 偽共單在 $\mathbf{Prof}$ 上的Kleisli 2-範疇是否為笛卡爾閉？這如何支援線性邏輯的定量語義？

主要发现

• 雙函子範疇 $\mathbf{Prof}$ 上的偽共單 $!$ 滿足線性指數偽共單的公理，從而支援線性邏輯的雙分類模型。
• 在相關背景下，共導變換 $\bar{d}_A : A \to !A$ 被證明是可逆的，確認其與微分結構的一致性。
• 分類對稱序列 $F : A \to B$ 的導數明確給出為 $dF(b, (a, \alpha)) = F(b, \alpha \setminus \{a\})$，此為Joyal導數公式的推廣。
• 相關的解析函子 $F_X(b) = \int_{\alpha \in !A} F(b, \alpha) \times X^\alpha$ 在雙分類設定中滿足乘積法則與鏈式法則。
• Kleisli 2-範疇 $\mathbf{CatSym} = \mathbf{Prof}^!$ 是笛卡爾閉的，其乘積由雙交給出，指數由 $A \multimap B = !A^{\mathrm{op}} \times B$ 定義，此結果推廣自 [FGHW08]。
• 在雙函子範疇 $\mathbf{Prof}$ 中，共導公理在預層範疇之間的解析函子上，產生了經典微分演算規則的對應，包括鏈式法則與乘積法則。