[论文解读] Monoidal categories enriched in braided monoidal categories

Scott Morrison, David Penneys|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文引入了在辫子张量范畴中增强的幺半范畴，推广了去等方化构造。它建立了具有可伴随单位函子的刚性 V-幺半范畴与从 V 到刚性张量范畴 T 的 Drinfeld 中心的辫子非严格张量函子之间的双射对应关系，揭示了除强函子外还存在非完备的增强结构。

ABSTRACT

We introduce the notion of a monoidal category enriched in a braided monoidal category $\mathcal V$. We set up the basic theory, and prove a classification result in terms of braided oplax monoidal functors to the Drinfeld center of some monoidal category $\mathcal T$. Even the basic theory is interesting; it shares many characteristics with the theory of monoidal categories enriched in a symmetric monoidal category, but lacks some features. Of particular note, there is no cartesian product of braided-enriched categories, and the natural transformations do not form a 2-category, but rather satisfy a braided interchange relation. Strikingly, our classification is slightly more general than what one might have anticipated in terms of strong monoidal functors $\mathcal V o Z(\mathcal T)$. We would like to understand this further; in a future paper we show that the functor is strong if and only if the enriched category is `complete' in a certain sense. Nevertheless it remains to understand what non-complete enriched categories may look like. One should think of our construction as a generalization of de-equivariantization, which takes a strong monoidal functor $\mathsf{Rep}(G) o Z(\mathcal T)$ for some finite group $G$ and a monoidal category $\mathcal T$, and produces a new monoidal category $\mathcal T // G$. In our setting, given any braided oplax monoidal functor $\mathcal V o Z(\mathcal T)$, for any braided $\mathcal V$, we produce $\mathcal T // \mathcal V$: this is not usually an `honest' monoidal category, but is instead $\mathcal V$-enriched. If $\mathcal V$ has a braided lax monoidal functor to $\mathsf{Vec}$, we can use this to reduce the enrichment to $\mathsf{Vec}$, and this recovers de-equivariantization as a special case.

研究动机与目标

• 为了形式化在辫子张量范畴中增强的幺半范畴的理论，扩展经典地在对称或辫子张量范畴中的增强。
• 为了解决在辫子增强中缺乏笛卡尔积和 2-范畴结构的问题，其本身满足辫子交换关系。
• 通过为任意辫子非严格张量函子 V → Z(T) 构造 T//V，推广去等方化构造，而不仅限于强函子。
• 阐明完备性在增强中的作用，表明强函子恰好对应于完备的增强范畴。
• 通过 Drinfeld 中心构造提供 V-幺半范畴的分类框架，从而在张量范畴和拓扑量子场论中实现新构造。

提出的方法

• 引入严格 V-幺半范畴的概念，其中复合与张量积通过弦图表达的辫子交换关系满足。
• 定义 V-幺半函子，并通过在增强范畴 V 中分别对每个因子施加条件，利用交换关系和结合律来建立其自然性。
• 将刚性张量范畴 T 的 Drinfeld 中心 Z(T) 作为辫子非严格张量函子 FZ: V → Z(T) 的目标，其中 F = FZ ◦ R 具有右伴随。
• 利用 Drinfeld 中心中的伴随与对偶关系推导复合映射的对偶，使用 Frobenius 互反律和 Zick-Zag 关系。
• 通过构造逆向构造证明定理 1.1 中的对应关系是双射：从 V-幺半范畴 C 中，通过 V(1 → C(a→b)) 提取 CV；从函子 FZ 中，通过泛性质构造 C。
• 使用弦图演算和相干性定理验证辫子交换关系和自然性条件，确保增强幺半结构的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 幺半范畴如何自然地在辫子张量范畴中增强，而非对称范畴中？会涌现出何种结构特征？
• RQ2 当 V 是辫子但非对称时，Drinfeld 中心在分类 V-幺半范畴中扮演何种精确角色？
• RQ3 为何 V-幺半范畴中的自然变换结构满足辫子交换关系，而非通常的 2-范畴交换关系？
• RQ4 完备性在 V-增强范畴中的意义是什么？它与函子 FZ: V → Z(T) 的强度有何关联？
• RQ5 去等方化能否推广到强函子之外？非严格函子会产生何种新型幺半范畴？

主要发现

• 建立了具有可伴随单位函子的刚性 V-幺半范畴与辫子非严格张量函子 FZ: V → Z(T) 之间的双射对应关系，其中 F = FZ ◦ R 具有右伴随。
• 该分类严格比强函子更一般：存在非完备的增强范畴，且它们恰好对应于非强的非严格函子。
• V-幺半范畴中的自然变换满足辫子交换关系，而非通常的 2-范畴交换关系，这是由于增强范畴中的非对称辫子结构所致。
• 该构造推广了去等方化：对于任意辫子非严格函子 FZ: V → Z(T)，可得到一个 V-幺半范畴 T//V，当 V → Vec 为非严格时，其退化为去等方化。
• 在 Drinfeld 中心中，复合映射的对偶被显式计算为 (jaηv) ◦ (−⊗C −)，利用伴随关系和交换关系。
• 该理论揭示了 V-幺半范畴的范畴不具有笛卡尔积，且缺乏 2-范畴结构，这是由于增强的辫子性质所致。