[论文解读] Monoidal derivators and additive derivators

Moritz Groth|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 33被引用 6

一句话总结

本文引入了幺半群和加法导出范畴作为同伦理论的结构化框架，表明幺半群导出范畴自然地源自幺半群模型范畴，且加法导出范畴在其值上自然携带预三角结构。关键贡献在于通过导出范畴的中心，形式化了稳定导出范畴上的线性与分次线性结构，其应用涵盖链复形与谱，其中导出范畴继承了如球面同伦群或微分分次代数的同调等环上的线性结构。

ABSTRACT

One aim of this paper is to develop some aspects of the theory of monoidal derivators. The passages from categories and model categories to derivators both respect monoidal objects and hence give rise to natural examples. We also introduce additive derivators and show that the values of strong, additive derivators are canonically pretriangulated categories. Moreover, the center of additive derivators allows for a convenient formalization of linear structures and graded variants thereof in the stable situation. As an illustration of these concepts, we discuss some derivators related to chain complexes and symmetric spectra.

研究动机与目标

• 发展幺半群导出范畴的理论，表明其源自幺半群模型范畴，并在从模型范畴到导出范畴的过渡中保持幺半群结构。
• 引入加法导出范畴作为指向稳定导出范畴的中间类别，使其值上能自然地携带预三角结构。
• 通过中心构造，形式化稳定导出范畴上的线性与分次线性结构，为线性同伦理论提供统一框架。
• 证明与链复形和对称谱相关的导出范畴分别自然地携带基环与稳定同伦群上的线性结构。

提出的方法

• 将幺半群预导出范畴定义为预导出范畴的卡氏2-category中幺半群对象，其幺半群结构在每个变量中保持同伦上积。
• 证明组合性幺半群模型范畴可通过从模型范畴到导出范畴的过渡，诱导出幺半群导出范畴。
• 引入与幺半群导出范畴相关的分配器双范畴，编码加权同伦（上）积。
• 通过要求底层范畴为加法范畴，定义加法导出范畴，从而使其函子为加法函子，并在其值上自然地携带预三角结构。
• 构造加法导出范畴的中心，以形式化线性与分次线性结构，映射至底层范畴的分次中心。
• 利用指向带基点拓扑空间的导出范畴的普遍性质，推导出悬垂与扭转变换，确立自同态环的分次交换性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将模型范畴上的幺半群结构提升至导出范畴？在何种条件下可确保该提升保持同伦上积？
• RQ2 加法导出范畴具有何种结构性质？其与预三角范畴的关系为何？
• RQ3 如何通过中心构造，范畴化地形式化稳定导出范畴上的线性与分次线性结构？
• RQ4 与链复形和谱相关的导出范畴具有何种自然线性结构？其如何源自同伦群或同调？
• RQ5 幺半群导出范畴如何通过其关联的分配器双范畴编码加权同伦（上）积？

主要发现

• 组合性幺半群模型范畴所关联的导出范畴，自然继承了保持每个变量中同伦上积的幺半群结构。
• 强加法导出范畴的值是自然预三角范畴，推广了稳定情形。
• 加法导出范畴的中心为线性结构提供了紧凑的形式化，存在从幺半群单位的自同态分次环到导出范畴分次中心的典范态射。
• 对于环 k 上的链复形导出范畴，其线性结构由基环 k 给出；对于谱的导出范畴，其线性结构由整数环 Z 给出。
• 对于交换微分分次代数 C，C-模的导出范畴在分次环 H•(C)（即 C 的同调）上携带分次线性结构。
• 对于交换环谱 E，E-模谱的导出范畴在 E 的同伦群分次环 π•(E) 上自然地具有分次线性结构。