[论文解读] Monoidal equivalence for locally compact quantum groups

Kenny De Commer|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 31被引用 10

一句话总结

本文通過伽羅瓦物件與共作用，建立了局部緊緻量子群之間的張量等價，證明了以單位 2-上循環扭轉量子群會產生另一個局部緊緻量子群。本文構造了對偶量子群與等價雙模，進而引發其表示類別之間的張量等價。

ABSTRACT

In this article we investigate the notion of monoidal equivalence for locally compact quantum groups, using the notion of a (bi-)Galois object. If (M,∆) is the von Neumann algebraic realization of a locally compact quantum group, a Galois object consists of a von Neumann algebra N together with an ergodic integrable coaction α of M on N, such that C ⊆ α(N) ⊆ N ⋊ M is the basic construction (in a canonical way). We show that we can associate to (N,α) another locally compact quantum group (P,∆P) and coaction γ of P on N, such that (N,γ) is a Galois object and such that γ and α commute. In fact, these objects are the building blocks of a special kind of quantum groupoid. We show that there are equivalence bimodules for all realizations of the duals of (M,∆) and (P,∆P), and that these provide monoidal equivalences between the categories of their ∗-representations. By these investigations, we are able to prove the following statement: any twisting of a locally compact quantum group by a unitary 2-cocycle is again a locally compact quantum group. We are also able to obtain a specific example of the following phenomenon: one can twist a compact quantum group by a 2-cocycle, and end up with a locally compact quantum group which is no longer compact.

研究动机与目标

• 透過伽羅瓦物件與共作用，定義並特徵化局部緊緻量子群之間的張量等價。
• 從給定的伽羅瓦物件與共作用構造對偶量子群，確保共作用之間的交換性。
• 在對偶量子群的表示類別之間建立等價雙模。
• 證明以單位 2-上循環扭轉局部緊緻量子群會產生另一個局部緊緻量子群。
• 展示緊緻量子群可透過 2-上循環扭轉轉化為非緊緻的局部緊緻量子群。

提出的方法

• 使用 von Neumann 代數框架處理局部緊緻量子群，以 (M,∆) 為基本量子群。
• 將伽羅瓦物件 (N,α) 定義為 von Neumann 代數 N，其上具有遍歷且可積的 M-共作用 α，使得 C ⊆ α(N) ⊆ N ⋊ M 組成基本構造。
• 構造新的量子群 (P,∆P) 及 N 上的 P-共作用 γ，使得 (N,γ) 為伽羅瓦物件，且 γ 與 α 交換。
• 利用這些交換共作用所構建的量子群oids 結構，推導出等價雙模。
• 應用雙模以建立 (M,∆) 與 (P,∆P) 對偶量子群的 ∗-表示類別之間的張量等價。
• 將此框架應用於證明單位 2-上循環扭轉能保持局部緊緻量子群結構。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否透過伽羅瓦物件與交換共作用來特徵化局部緊緻量子群之間的張量等價？
• RQ2 如何從給定的伽羅瓦物件與共作用構造對偶量子群？
• RQ3 由伽羅瓦物件產生的對偶量子群表示類別之間是否存在等價雙模？
• RQ4 以單位 2-上循環扭轉局部緊緻量子群的操作是否封閉於局部緊緻量子群類別之中？
• RQ5 能否透過 2-上循環扭轉將緊緻量子群轉化為非緊緻的局部緊緻量子群？

主要发现

• 透過伽羅瓦物件導出的等價雙模，確立了對偶量子群表示類別之間的張量等價。
• 任何局部緊緻量子群皆可透過單位 2-上循環扭轉產生另一個局部緊緻量子群。
• 此構造產生新的量子群 (P,∆P) 與伽羅瓦物件 N 上的交換共作用 γ，形成量子群oid 結構。
• 緊緻量子群可透過 2-上循環扭轉產生一個不再緊緻的局部緊緻量子群。
• 在 Jones 意義下的基本構造，於伽羅瓦物件的包含關係 C ⊆ α(N) ⊆ N ⋊ M 中自然實現。
• 此框架提供了一套系統化的方法，用以生成對偶量子群表示類別之間的張量等價。