[论文解读] Monoidal model categories

Mark Hovey|ArXiv.org|Feb 28, 1998

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 4

一句话总结

本文在单位对象为同伦可锥的单子模型范畴中，即使在 Schwede-Shipley 的条件不成立时，也建立了单子与模的同伦范畴，且该同伦范畴是良定义的且同伦不变，从而将同伦理论扩展至如对称谱等拓扑设定中的单子结构。

ABSTRACT

A monoidal model category is a model category with a compatible closed monoidal structure. Such things abound in nature; simplicial sets and chain complexes of abelian groups are examples. Given a monoidal model category, one can consider monoids and modules over a given monoid. We would like to be able to study the homotopy theory of these monoids and modules. This question was first addressed by Stefan Schwede and Brooke Shipley in "Algebras and modules in monoidal model categories", who showed that under certain conditions, there are model categories of monoids and of modules over a given monoid. This paper is a follow-up to that one. We study what happens when the conditions of Schwede-Shipley do not hold. This will happen in any topological situation, and in particular, in topological symmetric spectra. We find that, with no conditions on our monoidal model category except that it be cofibrantly generated and that the unit be cofibrant, we still obtain a homotopy category of monoids, and that this homotopy category is homotopy invariant in an appropriate sense.

研究动机与目标

• 将单子与模的同伦理论扩展至超越 Schwede-Shipley 原始条件限制的范围。
• 解决在单子模型范畴中，当单子结构不满足标准纤维性或可锥性假设时，定义单子同伦范畴的挑战。
• 确保所得同伦范畴在如对称谱等拓扑设定中具有同伦不变性且行为良好。
• 提供一个适用于拓扑对称谱及其他单位为同伦可锥但其他条件不成立的单子模型范畴的一般框架。

提出的方法

• 以单位为同伦可锥的可生成单子模型范畴作为基础设定。
• 通过尊重单子结构的局部化过程，构建单子的同伦范畴。
• 利用单位为同伦可锥的条件，确保单子结构与弱等价之间的相容性。
• 在同伦范畴中定义单子上的模，并证明其同伦不变性。
• 证明所得同伦范畴与构造中的选择无关，并在同伦意义下保持单子运算。
• 将该框架应用于拓扑对称谱，尽管标准条件不成立，但该构造仍能产生良定义的同伦理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 Schwede-Shipley 的条件不成立时，能否在单子模型范畴中定义单子的同伦范畴？
• RQ2 单子的同伦范畴是否在底范畴的弱等价下保持同伦不变？
• RQ3 单位为同伦可锥的条件如何促成一个行为良好的单子同伦范畴的构造？
• RQ4 该框架能否应用于标准条件不成立的拓扑对称谱？
• RQ5 何种结构性质可确保单子模的同伦范畴是良定义且不变的？

主要发现

• 在任意可生成的单子模型范畴中，只要单位为同伦可锥，即使不满足 Schwede-Shipley 的附加条件，单子的同伦范畴也存在。
• 单子的同伦范畴具有同伦不变性，即其尊重弱等价，并且与构造中的选择无关。
• 该构造可推广至单子上的模，从而得到一个良定义的模同伦范畴。
• 该框架适用于拓扑对称谱，尽管其单子结构不满足标准条件，但同伦理论仍保持良好行为。
• 单位为同伦可锥的条件足以确保同伦范畴的存在性与不变性，即使在缺乏其他技术性假设的情况下亦成立。