[论文解读] Monoids, Embedding Functors and Quantum Groups

Michael Müger, Lars Tuset|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2006

Rings, Modules, and Algebras被引用 1

一句话总结

本文证明了离散量子群的左正则表示在其表示范畴中构成一个吸收幺半群，并且此类吸收幺半群可诱导出一个 *-保持的嵌入函子到希尔伯特空间。关键贡献在于证明了以下三个条件的等价性：(1) C*-张量范畴与某个离散量子群的表示范畴等价，(2) 存在吸收幺半群，(3) 存在 *-保持的嵌入函子。

ABSTRACT

We show that the left regular representation \pi_l of a discrete quantum group (A,\Delta) has the absorbing property and forms a monoid (\pi_l, ilde{m}, ilde{\eta}) in the representation category Rep(A,\Delta). Next we show that an absorbing monoid in an abstract tensor *-category C gives rise to an embedding functor E:C->Vect_C, and we identify conditions on the monoid, satisfied by (\pi_l, ilde{m}, ilde{\eta}), implying that E is *-preserving. As is well-known, from an embedding functor E: C->\mathrm{Hilb} the generalized Tannaka theorem produces a discrete quantum group (A,\Delta) such that C is equivalent to Rep_f(A,\Delta). Thus, for a C^*-tensor category C with conjugates and irreducible unit the following are equivalent: (1) C is equivalent to the representation category of a discrete quantum group (A,\Delta), (2) C admits an absorbing monoid, (3) there exists a *-preserving embedding functor E: C->\mathrm{Hilb}.

研究动机与目标

• 刻画具有共轭结构和不可约单位的 C*-张量范畴，使其成为离散量子群的表示范畴。
• 通过识别内部范畴条件（如吸收幺半群）来填补现有塔南卡对偶理论的空白，以确保嵌入函子的存在。
• 将德利涅的对称幺半群方法推广至非对称、非辫状的量子群设定。
• 证明离散量子群的左正则表示在其表示范畴中自然构成一个吸收幺半群。
• 建立 C*-张量范畴中的吸收幺半群可诱导出一个 *-保持的嵌入函子到希尔伯特空间，从而实现塔南卡重构。

提出的方法

• 在离散量子群 (A, Δ) 的表示范畴中定义正则幺半群 (πₗ, ˜m, ˜η)，利用左正则表示和傅里叶变换。
• 通过 ˜m = F⁻¹ ∘ ˆm ∘ (F ⊗ F) 和 ˜η(1) = F⁻¹(1̂ₐ) 构造幺半群结构，其中 F 是与左不变泛函 ϕ 关联的傅里叶变换。
• 证明该幺半群是吸收的：对任意对象 X，Q-模 (Q ⊗ X, ˜m ⊗ id_X) 同构于 (Q, ˜m) 的倍数。
• 证明在具有共轭结构的 C*-张量范畴 C 中，吸收幺半群可诱导出一个 *-保持张量函子 E: C → Hilb（希尔伯特空间）。
• 利用广义塔南卡定理，从该函子重构出一个离散量子群 (A, Δ)，从而建立范畴等价。
• 当 C 有无穷多个不可约对象时，工作于 ˆC（归纳极限的范畴）中，以确保在 ˆC 中存在吸收幺半群。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种内部范畴条件下，具有共轭结构和不可约单位的 C*-张量范畴等价于某个离散量子群的表示范畴？
• RQ2 C*-张量范畴中吸收幺半群的存在是否能保证存在一个 *-保持的嵌入函子到希尔伯特空间？
• RQ3 离散量子群的左正则表示是否在其表示范畴中自然构成一个吸收幺半群？
• RQ4 何种幺半群条件可确保其关联的嵌入函子为 *-保持？
• RQ5 整数值维数函数的存在与吸收幺半群或嵌入函子的存在有何关联？

主要发现

• 离散量子群 (A, Δ) 的左正则表示 πₗ 在范畴 Rep(A, Δ) 中构成一个吸收幺半群 (πₗ, ˜m, ˜η)。
• 在具有共轭结构的 C*-张量范畴 C 中，若吸收幺半群满足特定结构条件，则可诱导出一个 *-保持张量函子 E: C → Hilb。
• 存在 *-保持嵌入函子 E: C → Hilb 当且仅当 C 中存在吸收幺半群。
• 对于具有共轭结构和不可约单位的 C*-张量范畴 C，以下条件等价：(1) C ≃ Repf(A, Δ) 对某个离散量子群 (A, Δ) 成立，(2) C 中存在吸收幺半群，(3) 存在 *-保持嵌入函子 E: C → Hilb。
• 若 C 上的内在维数函数非整数值，且 C 有限或具有幺模辫结构，则不存在 *-保持嵌入函子。
• 若 C 上存在整数值维数函数 n，则在 ˆC 中的直和 Q = ⊕ᵢ nᵢ Xᵢ 满足对所有 X ∈ C 有 Q ⊗ X ≅ n(X)Q；若 Q 是不可约对象的直和且满足 Q ⊗ X ≅ n(X)Q，则 Q 同构于此类和的倍数，且 n(X) ∈ ℕ。