[论文解读] Monoids of Upper Triangular Matrices over the Boolean Semiring

Ryzhikov, Andrew, Vladimir V. Gusev|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2024

semigroups and automata theory被引用 1

一句话总结

本文引入了SIA-指数，定义为收敛于一个秩一矩阵（SIA矩阵）的最短随机矩阵乘积的长度。研究建立了n×n随机矩阵SIA-指数的O(n³)上界，证明了判断SIA-指数是否被给定k所限制的问题是NP-完全的，并将该问题与自动机理论中的Černý猜想联系起来，表明SIA-指数的改进上界将解决同步理论中长期存在的开放问题。

ABSTRACT

Given a finite set 𝒜 of square matrices and a square matrix B, all of the same dimension, the membership problem asks if B belongs to the monoid ℳ(𝒜) generated by 𝒜. The rank one problem asks if there is a matrix of rank one in ℳ(𝒜). We study the membership and the rank one problems in the case where all matrices are upper triangular matrices over the Boolean semiring. We characterize the computational complexity of these problems, and identify their PSPACE-complete and NP-complete special cases. We then consider, for a set 𝒜 of matrices from the same class, the problem of finding in ℳ(𝒜) a matrix of minimum rank with no zero rows. We show that the minimum rank of such matrix can be computed in linear time.We also characterize the space complexity of this problem depending on the size of 𝒜, and apply all these results to the ergodicity problem asking if ℳ(𝒜) contains a matrix with a column consisting of all ones. Finally, we show that our results give better upper bounds for the case where each row of every matrix in 𝒜 contains at most one non-zero entry than for the general case.

研究动机与目标

• 定义并分析SIA-指数，即收敛于秩一矩阵的最短随机矩阵乘积的长度。
• 为n×n随机矩阵建立SIA-指数的紧致上界和下界。
• 证明判断SIA-指数是否被给定整数k所限制的问题是NP-完全的。
• 将SIA-指数与自动机理论中的经典概念联系起来，特别是关于同步自动机的Černý猜想。
• 为SIA、随机、Sarymsakov或正列乘积的存在性开发多项式时间决策程序。

提出的方法

• 通过3-SAT归约，证明当所有矩阵对角线元素为正时，判断SIA-指数≤k的问题是NP-完全的。
• 从集合覆盖实例构造一类(0,1)-随机矩阵，将SIA-指数与最小集合覆盖大小联系起来。
• 利用Lyndon词和组合矩阵论分析矩阵乘积的收敛性质。
• 利用关于正列指标和随机矩阵的已知结果，将SIA-指数与其他矩阵类相关联。
• 证明在随机矩阵集合中，SIA乘积的存在性等价于正列、随机或Sarymsakov乘积的存在性。
• 对小规模n进行穷举计算机搜索，以支持SIA-指数随n线性增长的猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 在所有n×n随机矩阵集合中，SIA-指数的最大可能值是多少？其随n的变化趋势如何？
• RQ2 判断给定随机矩阵集合是否存在长度至多为k的SIA乘积的问题在计算上是否困难？
• RQ3 SIA-指数与其他矩阵类（如随机、Sarymsakov和正列矩阵）有何关联？
• RQ4 SIA-指数能否在O(log n)因子内近似？此类近似的极限是什么？
• RQ5 若SIA-指数存在次二次上界，是否意味着在解决Černý猜想方面取得进展？

主要发现

• 任何n×n随机矩阵集合的SIA-指数至多为O(n³)，这是该量的首个通用上界。
• SIA-指数至少以线性速度随n增长，表明其真实增长速率可能接近线性。
• 即使所有矩阵的对角线元素均为正，判断SIA-指数是否被给定k所限制的问题仍是NP-完全的。
• 在随机矩阵集合中，SIA乘积的存在性等价于正列、随机或Sarymsakov乘积的存在性。
• 对于任意α>0，将SIA-指数在(1−α)log(n)因子内近似是NP-难的，表明其具有极强的不可近似性。
• SIA-指数的计算是NP-难的，且除非P=NP，否则无法在O(log n)因子内近似。